Reken- en Wiskundeonderwijs voor #2032

Vraag is wat het Platform met het advies, dat hieronder staat, gaat doen. A.s. zaterdag wordt het definitieve rapport van de commissie Schnabel openbaar.

1. Hoe kan persoonsvorming gestalte krijgen binnen rekenen en wiskunde in het primair en secundair onderwijs?

Het Platform schrijft over persoonsvorming:
"De school helpt ze [de leerlingen] te ontdekken wie ze zijn, wat ze belangrijk vinden en hoe ze zich tot anderen verhouden. Leerlingen leren zelfstandig keuzes maken, waarbij ze rekening houden met anderen en hun omgeving. Ze worden weerbaar, krijgen zelfvertrouwen en leren dat het plezierig is om samen met anderen tot een mooi resultaat te komen."

Het reken- en wiskundeonderwijs kan een belangrijke bijdrage leveren aan de persoonsvorming van de leerlingen. Het onderwijs in rekenen en wiskunde biedt namelijk bij uitstek mogelijkheden om ideeën uit te wisselen, naar elkaar te luisteren, te proberen de anderen te begrijpen, eigen ideeën onder woorden te brengen en op een respectvolle manier kritiek te geven en te ontvangen (zie bijvoorbeeld Kerndoelen Primair Onderwijs).

Naast meer algemene persoonsvorming pleiten wij ook voor specifiek op rekenen en wiskunde toegespitste persoonsvorming. In deze tijd van technologische ontwikkeling en informatisering is het van belang dat leerlingen de betekenis en het specifieke karakter van rekenen en wiskunde gaan zien, wiskundig zelfvertrouwen ontwikkelen en dat wordt voorkomen dat ze wiskundeangst of een aversie tegen rekenen en wiskunde ontwikkelen. Dit betekent dat leerlingen rekenen-wiskunde moeten ervaren als interessant, relevant en behapbaar.

Dit vraagt enerzijds om reken- en wiskundeonderwijs waarbinnen leerlingen de gelegenheid krijgen te experimenteren, exploreren en te redeneren. Anderzijds dienen ze zo toegerust te worden dat ze antwoorden (van henzelf, van anderen, of van apparaten) kunnen controleren en in perspectief kunnen plaatsen. Bij dit alles dient steeds een goede balans te worden gezocht tussen de vaardigheid waar de leerling al over beschikt en uitdaging waar de leerling voor wordt geplaatst.

Het specifieke karakter van rekenen en wiskunde uit zich in het gebruik van symbolen, modellen en formules, die vaak als lastig, abstract en ontoegankelijk worden ervaren. Vanuit de wiskunde gezien zijn deze aspecten echter onderdeel van een proces dat zich erop richt zoveel mogelijk zaken zo beknopt mogelijk, zo precies mogelijk en zo algemeen mogelijk te beschrijven en de geldigheid daarvan met zekerheid vast te stellen. Gezien de grote rol die wiskunde in de informatiemaatschappij speelt, achten wij het van groot belang dat de leerlingen zich dit perspectief eigen maken, de wiskundige cultuur gaan begrijpen en appreciëren. Men spreekt in dit verband wel van het ontwikkelen van een wiskundige attitude, waarbij ook zaken horen als nieuwsgierigheid, reflecteren, onderzoeken, communicatie, doelgerichtheid en het kunnen beoordelen wanneer wiskunde toepasbaar is en wanneer niet (zie Oonk & De Goeij, 2006 en zie ook de voor de PROO uitgevoerde meta-analyse over attitudes stimuleren tegenover wiskunde en de natuurwetenschappen).

Daarmee wordt tevens een bijdrage geleverd aan digitale vaardigheid en mediawijsheid in de vorm van een kritische attitude ten aanzien van wiskundige aspecten van de informatie die wordt aangeboden. Daarbij valt te denken aan vragen als, "Waar komen die getallen vandaan?", "Wat is de praktische betekenis ervan?", en, "Kan dit wel kloppen?".

Aanbeveling werkgroep:
Samengevat beveelt de werkgroep aan om zowel aandacht te besteden aan de rol die het reken-wiskundeonderwijs kan spelen bij persoonsvorming in algemene zin, als aan specifiek op rekenen en wiskunde toegespitste persoonsvorming. Bij dit laatste gaat het om het ontwikkelen van wiskundig zelfvertrouwen, het specifieke karakter van rekenen en wiskunde gaan begrijpen en appreciëren en een wiskundige attitude ontwikkelen.

2. Hoe bepaal je de kern van reken- en wiskunde in het primair en secondair onderwijs?

De rol van apparaten die reken- en wiskundige bewerkingen uitvoeren
Wanneer we de kern van het reken- en wiskundeonderwijs beschouwen met het oog op 2032 dringt de noodzaak zich op van een herijking van de inhoud en doelen van het reken- en wiskundeonderwijs vanwege de steeds grotere rol die apparaten spelen in het uitvoeren van reken- en wiskundewerk (Gravemeijer, 2013). Deze verschuiving van mens naar machine gaat gepaard met black boxing, reken-wiskundige bewerkingen voltrekken zich in toenemende mate in het verborgene; in het binnenwerk van allerlei apparaten, variërend van rekenmachines en computers tot min of meer intelligente apparaten. De vraag is dan welke inzichten en vaardigheden je nodig hebt om greep te houden op wat er in deze black boxes gebeurt. Dit vraagt een verschuiving van doelen naar meer conceptuele kennis en het globaal kunnen controleren van uitkomsten.

De vooralsnog onbeantwoorde vraag is echter wat dit betekent voor de inhoud en opbouw van het reken- en wiskundeonderwijs. Welk vaardigheidsniveau is nodig om tot het beoogde begrip te kunnen komen? Hoe kan specifiek daarvoor ontworpen educatieve software daar een rol in spelen? En in hoeverre vraagt het globaal controleren andere vaardigheden dan het zelf berekenen?

Rekenen en wiskunde toepassen
Daarnaast komt de vraag naar voren, welke vaardigheden en inzichten nodig zijn voor het kunnen toepassen van rekenen en wiskunde in de wereld buiten de school. In de context van volwasseneducatie worden hiervoor in de literatuur termen als "gecijferdheid", "mathematical literacy" en "numeracy" gebruikt (Hoogland, 2007; Coben, 2003). Meer specifiek voor het gebruik van rekenen en wiskunde op de werkvloer wordt gesproken van "Techno-mathematical Literacies" (Hoyles, Noss, Kent, & Bakker, 2010). Verder gaat de aandacht ook uit naar situaties waar de problemen complex en slecht gedefinieerd zijn en bovendien het tegen elkaar afwegen van voor- en nadelen vragen. Bij dit thema past ook de groeiende aandacht voor computational thinking, dat grofweg beschreven kan worden als het zo bewerken van problemen in de werkelijkheid dat ze met computers kunnen worden opgelost (Sneider, Stephenson, Schafer and Flick, 2014).

Wiskundige denkactiviteiten en heuristieken
Dichterbij de wiskunde liggen uitwerkingen als de recent in het eindexamenprogramma HAVO en VWO opgenomen wiskundige denkactiviteiten (Drijvers, 2015):
• Modelleren en algebraïseren
• Ordenen en structureren
• Analytisch denken en probleem oplossen
• Formules manipuleren
• Abstraheren
• Logisch redeneren en bewijzen

In dit kader kan verder het leren gebruiken van heuristieken voor wiskundig probleem oplossen worden genoemd (Drijvers, Streun & Zwaneveld, 2012). Hierbij dient te worden opgemerkt dat wiskundige denkactiviteiten en probleem oplossen zich niet tot het VO beperken maar ook al in het PO kunnen worden aangezet.

Verschuiving in leerstofinhouden
Naast een meer algemene doordenking vanuit het perspectief van de beschikbaarheid van computer tools dient ook opnieuw bekeken te worden welke onderdelen van rekenen en wiskunde in het toekomstige onderwijs de meeste aandacht moeten krijgen. Zo kunnen we bijvoorbeeld constateren dat veel van de kwantitatieve informatie die beschikbaar komt statistisch van aard is, dan wel het resultaat is van statistische bewerkingen. Terwijl "big data" zich tot een zelfstandig topic ontwikkelt. Daarnaast geeft de rekenkracht van computers ons nieuwe mogelijkheden. Numerieke wiskunde, wiskundig modelleren en optimaliseren zijn dan ook onderwerpen die steeds verder in belang toenemen. Verder vormen functies en variabelen de basis van de wiskundige modellen die ten grondslag liggen aan allerlei computerprogramma's. Een ander onderwerp dat aandacht vraagt betreft de wiskunde die nodig is voor zaken als 3D-printing, augmented reality en animatie. Deze ontwikkelingen vragen om een nieuwe afweging van voor het reken-wiskundeonderwijs belangrijke inhouden.

Aanbeveling werkgroep:
Samengevat beveelt de werkgroep aan om bij het bepalen van de kern van het reken- en wiskundeonderwijs aandacht te besteden aan reken-wiskundig denken, probleem oplossen, rekenen en wiskunde kunnen toepassen buiten de school en het begrijpen van de in apparaten verborgen reken- en wiskundige bewerkingen. Daarnaast pleit de werkgroep voor een actualisering van de leerstofinhouden.

3. Welke rol kan rekenen en wiskunde spelen bij de invulling van een samenhangend onderwijsaanbod?

Rekenen en wiskunde vormen van oudsher een natuurlijk onderdeel van een samenhangend onderwijsaanbod. In veel wetenschapsgebieden wordt gebruik gemaakt van reken-wiskundige modellen en technieken. De beschikbare digitale mogelijkheden voor kwantitatieve gegevensverzameling en –bewerking leiden bovendien tot een toename van de rol en het niveau van rekenen en wiskunde in andere vakken. Veelal is hier sprake van een natuurlijke symbiose. Daarbij gaat het niet alleen om berekenen; een op kwantificering en wiskundige modellen gebaseerde benadering vormt tegenwoordig een belangrijk onderdeel van veel wetenschappelijke disciplines. Daarbij dient uiteraard ook de rol van taal te worden genoemd. Een specifiek element hier is de rol van "vaktaal" (Moschkovich, 2010).

Aanbeveling werkgroep
In dit kader pleit de werkgroep voor een versterking van de natuurlijke samenhangen tussen rekenen, wiskunde en andere vakken in de curricula, met specifieke aandacht voor de rol van taal.

4. Hoe kan de kwaliteit en de verdieping en verbreding geborgd worden, zodat de aansluiting op het vervolgonderwijs goed verloopt?

De ontwikkeling in de richting van een maatschappij waar apparaten allerlei reken- en wiskundige bewerkingen overnemen leidt tot een verschuiving in het belang van de beheersing van instrumentele vaardigheden naar een verdieping van begrip en inzicht. Deze verschuiving heeft consequenties voor de doorgaande leerlijnen en de manier waarop de aansluiting op het vervolgonderwijs moet worden geborgd. Daarbij willen we wijzen op het gevaar dat curriculumdoelen zo worden uitgewerkt dat ze gemakkelijk kunnen worden vertaald in onderwijs dat zich richt op het produceren van correcte antwoorden op individuele opgaven (Hodgen, Küchemann, Brown & Coe, 2009).

Meer op concepten en processen gerichte doelen worden veelal los van concreet te toetsen vaardigheden beschreven en vaak niet getoetst, met als gevolg dat ze in de onderwijspraktijk slechts een beperkte rol spelen (Niss & Højgaard, 2011). In Nederland is wat dat betreft een belangrijke stap gezet met het opnemen van wiskundige denkvaardigheden in de examenprogramma's voor HAVO en VWO. Een volgende stap zou kunnen bestaan uit het ontwikkelen van nieuwe doelbeschrijvingen waarin netwerken van reken-wiskundige relaties worden beschreven en het objectkarater van de daarbij horende reken-wiskundige concepten (Sfard, 1991).

Hierbij willen we opmerken dat aandacht voor conceptuele aspecten bovendien mogelijkheden biedt voor het vergroten van de inzet en motivatie van de leerlingen, onder meer door het vergroten van de kans op Aha-Erlebnissen en door een verschuiving van ego-motivatie naar taakmotivatie (Boekaerts, 2005). Daarbij willen we opmerken dat de interesses van leerlingen niet statisch zijn maar door onderwijs beïnvloed kunnen worden.

Aanbeveling werkgroep
In dit kader merkt de werkgroep op dat de ontwikkeling naar een maatschappij waar apparaten allerlei reken- en wiskundige bewerkingen overnemen leidt tot een verschuiving in het belang van de beheersing van instrumentele vaardigheden naar een verdieping van begrip en inzicht. Zij bepleit een doordenking van de consequenties die deze verschuiving heeft voor de doorgaande leerlijnen van PO naar VO en de daarbij passende doelformuleringen en toetsen.

Besluit
Uit het voorgaande blijkt dat de verandering van de maatschappij onder invloed van de snelle technologische ontwikkelingen een grondige heroverweging van de doelen en inhouden van het reken- en wiskundeonderwijs noodzakelijk maakt (zie ook Themanummer "Rekenen in de 21e eeuw", van het tijdschrift Volgens Bartjens (2015), jaargang 34, nummer 5). Dit is echter een complex probleem, waarvoor de antwoorden niet direct beschikbaar zijn. We stellen daarom voor een taskforce in te stellen, die in kaart brengt welke eisen de maatschappij van de nabije toekomst stelt, hoe deze eisen kunnen worden vertaald in doelen en inhouden voor het reken- en wiskundeonderwijs en hoe deze veranderingen in curricula en examenprogramma's kunnen worden uitgewerkt.

Tekst Werkgroep Wiskunde voor Morgen, onder eindredactie van prof. dr. Koeno Gravemeijer. De werkgroep Wiskunde voor Morgen is een informeel samenwerkingsverband van ontwikkelaars, onderzoekers, opleiders, onderwijsadviseurs en andere experts op het gebied van het reken- en wiskundeonderwijs -van po tot en met hbo - die een antwoord zoeken op de vraag hoe het reken- en wiskundeonderwijs moet worden aangepast om de leerlingen van nu zo goed mogelijk voor te bereiden op de maatschappij van morgen.

De tekst is op 30 oktober 2015 aangeboden aan de commissie Schnabel namens de leden Dr. Sonia Abrantes Garcêz Palha, Dr. Arthur Bakker, Dr. Geeke Bruin-Muurling, Dr. Kees Buijs, Prof. Dr. Paul Drijvers, Dr. Maarten Dolk, Dr. Michiel Doorman, Dr. Dolly van Eerde, Drs. Frans van Galen, Prof. Dr. Koeno Gravemeijer, Drs. Tom Gorris, Dr. Mieke van Groenestijn, Prof. Dr. Marja van den Heuvel-Panhuizen, Drs. Peter Kop, Dr. Ronald Keijzer, Dr. Jo Nelissen, Dr. Wil Oonk, Dr. Irene van Stiphout, Drs. Marike Verschoor, Drs. Monica Wijers,Prof. Dr. Bert Zwaneveld.

Literatuur
Boekaerts, M. (2005). Motivatie om te leren. Educational Practices Series, 10.

Coben, D. (2003). Adult numeracy: review of research and related literature. Retrieved from London, UK: www.nrdc.org.uk

Drijvers, P. (2015). Denken over wiskunde, onderwijs en ICT. Inaugurele rede. Utrecht: Universiteit Utrecht. ISBN 978-90-70786-33-5.
http://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/Oratie_Paul_Drijvers_facsimile_20150521.pdf

Drijvers, P. H. M., Streun, A. van, & Zwaneveld, G. (2012). Handboek wiskundedidactiek. Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

Gravemeijer, K. (2013). Mathematics Education and the Information Society. In: A. Damlamian, J.F. Rodrigues & R Sträßer (Eds): Educational Interfaces between Mathematics and Industry, Report on an ICMI-ICIAM-Study, New ICMI Study Series Vol. 16. (p.p. 279-286). Cham, Switzerland: Springer International Publishing.

Hodgen, J., Küchemann, D., Brown, M., & Coe, R. (2009). Children's understandings of algebra 30 years on. Research in Mathematics Education, 11(2), 193-194.

Hoogland, K., & Meeder, M. (2007). Gecijferdheid in beeld. Utrecht: APS.

Hoyles, C., Noss, R., Kent, P., & Bakker, A. (2010). Improving mathematics at work: The need for techno-mathematical literacies. Routledge.

Moschkovich, J.N. (2010). Language(s) and learning mathematics: Resources, challenges, and issues for research. Charlotte, NC: Information Age Publishing.

Niss, M. & Højgaard, T. (eds.) (2011). Competencies and Mathematical Learning, Ideas and inspiration for the development of mathematics teaching and learning in Denmark, English edition. Roskilde: Roskilde University. On line: http://diggy.ruc.dk/bitstream/1800/7375/1/IMFUFA_485.pdf

Oonk, W. & De Goeij, E.T.J. (2006). Wiskundige attitudevorming. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 25(4), 37-39.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1–36.
Sneider, C., Stephenson, C., Schafer, B., and Flick, L. (2014). Computational High School Science Classrooms. The Science Teacher, summer 2014, p.p. 53-59.