De uiteindelijke trigger om deze blog te schrijven was het artikel van Koeno Gravemeijer in Didactief (maart 2022) over ‘Rekenen-wiskunde past niet in het model’. Met ‘het model’ wordt gerefereerd naar een trend in onderwijsland die je generaliserend onderwijsonderzoek kunt noemen. Onderzoek dat leidt tot één onderwijsmodel waar voor alle vakken het beste onderwijs uit komt. Het artikel in Didactief is een verkorte versie van een longread die eerder op didactiefonline verschenen is. Door het inkorten van het artikel zijn er, in mijn ogen, wat nuances kwijtgeraakt en komt één en ander wat zwart – witter op mij over. En dat triggerde mij om wat gedachten die al langer in mijn hoofd dwarrelden eens op papier uiteen te zetten. Al was het maar om mijn eigen gedachten te ordenen.
Het begin van het artikel in Didactief. |
De eerste trigger was in de inleiding de zinsnede: ‘rekenen-wiskunde past niet in dit model’. Uitspraken van gelijke strekking heb ik wel vaker gehoord als ik ergens een training gaf over formatief werken: ‘Bij mijn vak kun je niet formatief toetsen’. Aan de andere kant, en dat blijkt wat meer uit de longread, heeft Gravemeijer zeker gelijk dat er in het onderwijs altijd een spanningsveld zit tussen onderzoek en de dagelijkse lespraktijk. Vaak wordt een model of een aanpak vanuit een onderzoek neergezet als ‘zo moet je het doen en dan komt het goed’. En dat is zelden het geval in de praktijk, om (zeker) twee redenen.
Ten eerste, als ik als docent een model of aanpak oppak en ga uitwerken dan ben ik op dat gebied en op dat moment een beginner. Ik maak daarin fouten, begrijp nog niet alle onderliggende principes en bij de uitvoering mis ik daarom belangrijke momenten om te handelen of maak ik keuzes die niet passen bij het model. Ik heb tijd nodig om me dit eigen te maken en het is nog maar de vraag of ik dat volhoud en doe, of dat ik besluit dat dit niet werkt voor mij en mijn klas.
Ten tweede, een klas is een dynamisch iets en is nooit hetzelfde. Er zijn zoveel factoren die een rol spelen, iedere dag weer. Hoe goed de lesvoorbereiding ook is: het loopt vaak toch net even anders. Ik moet improviseren, schakelen, meeveren, grenzen stellen op allerlei dimensies. Een model of een aanpak is een handvat, een houvast. Iets wat je op bepaalde momenten in je les kunt gebruiken. En soms dus ook niet. Het is het vakmanschap van de docent dat bepaalt welk instrument hij/zij op dat moment inzet. Er is dus niet iets als ‘zo moet het en dan komt het goed’ in alle omstandigheden.
Het artikel suggereert dat rekenen-wiskunde niet in het algemene model past. Ik denk dat we moeten oppassen dat we rekenen-wiskunde niet als de uitzondering positioneren: er zijn heel veel vakken, zo niet alle vakken, die je niet vanuit één model kunt aanvliegen of kunt vangen in één model.
De tweede trigger was handvat nummer 4. ‘Leg denkwerk bij de leerling’. Daar ben ik het volledig mee eens: ‘Memory is the residue of thought’ (Daniel Willingham). Het is ook niet voor niets dat we in wiskunde de wiskundige denkactiviteiten hebben toegevoegd aan het curriculum. Wellicht dat daar de schoen wringt: gaat wiskunde überhaupt niet om denken en zou dat niet het primaire doel moeten zijn: leerlingen te laten denken als een wiskundige?
Dan komt de zin: ‘Uitleggen en voordoen is bij rekenen-wiskunde niet de juiste aanpak’. Ofwel: ik doe al ruim 14 jaar iets wat niet de juiste aanpak is. Dat is even slikken en geeft gelijk verwarring omdat ik (voor zover ik dan nu kan inschatten) goede resultaten boek daarmee. En verwarring omdat ik vanuit onderwijsboeken die ik lees toch vaak vormen of afgeleiden van Rosenshine principles of instruction tegenkom.
In de longread staat wat meer toelichting over het model van horizontaal en verticaal mathematiseren (schematiseren). Kort gezegd gaat het daarbij om het vertalen van een probleem in context naar een wiskundig probleem, vervolgens binnen de wiskunde dit probleem oplossen en de resultaten terugvertalen naar de context en daar te valideren.
Als je hier meer over wilt lezen dan zijn de publicaties Redeneren en formuleren bij wiskunde vakken (SLO, rond bladzijde 18) en een eerder artikel van Koeno Gravemeijer op Volgens-Bartjens aan te bevelen.
Vanuit deze schematisering kan ik plaatsen dat uitleggen en voordoen (of voordoen en uitleggen?) voornamelijk op het gebied van de vaardigheden en dus oplossen van het geïdentificeerde wiskundige probleem het effectiefst is, maar dat bij het vertalen van context naar wiskunde (en vice versa) een andere aanpak ‘beter’ is. In mijn lessen doe ik dat door met leerlingen te kijken naar overeenkomsten & verschillen, naar specifieke kenmerken, aanpak, strategie etc. Ik besteed daar best wat aandacht aan, en dus stelt dat me wat geruster en geeft deze uitspraak mij wat perspectief.
Om hierop nog verder te reageren merk ik dat het voor mezelf nodig is om stil te staan bij het doel van rekenen-wiskunde onderwijs. Ik zie zelf daarin verschillende lagen of verschillende doelen.
Om als burger goed mee te kunnen komen is een bepaalde mate van gecijferdheid nodig. Je moet om kunnen gaan met verschillende soorten verbanden, kunnen (hoofd)rekenen en een zeker getalbegrip hebben (deze opsomming is natuurlijk veel te kort en is niet uitputtend, maar het gaat even over het algemene beeld).
Wat ons als mensen bijzonder maakt is dat we kunnen denken (t.o.v. andere levende wezens). Wij kunnen denken omdat we een taal hebben waarin we ons kunnen uitdrukken. Wiskunde is daarmee ook een taal waarmee je leert kijken naar de wereld. Je ontkomt er niet aan dat je de afgelopen twee jaar naar de ontwikkelingen op Covid hebt gekeken met verschillende brillen op: aardrijkskundig, biologisch, globalisering, economische gevolgen, maatschappelijke aspecten, de verspreiding en groei van de besmettingen. Iedere bril vraagt een andere taal, een ander vocabulair, kijkt naar andere oorzaken/gevolgen en verbanden, doet andersoortige uitspraken over voorspellingen en verwachtingen. Wiskunde leren is het leren van een taal, het leren van kijken naar verbanden, het zoeken naar patronen, het doen van voorspellingen, het verklaren van wat je ziet. Een doel van het leren van wiskunde is het ontwikkelen van een wiskunde taal om jezelf in uit te drukken en om met die bril te kunnen nadenken.
Bijna iedereen komt op een punt, binnen het leren van wiskunde, dat je worstelt. Je ziet niet gelijk de oplossing, je begrijpt een verband niet, je twijfelt over de aanpak die je nodig hebt. Bij wiskunde leer je daarom ook twee andere belangrijke persoonlijke aspecten:
beginnen: misschien wat in het verlengde van doorzetten, maar deze zit nog een stap daarvoor. Ik merk dat veel leerlingen pas beginnen als ze de gehele aanpak (route naar het antwoord) overzien. Zien ze dat niet dan kunnen ze lang staren naar een stuk papier zonder dat er iets gebeurt. Wat ik mijn leerlingen leer, is te kijken naar wat ze wel herkennen, wat ze wel al zouden kunnen doen, dat uit te voeren en dan opnieuw naar het geheel te kijken met de nieuwe informatie erbij. Ik leer ze schetsen maken, om tekst naar beeld te vertalen (de cognitieve load theory speelt hierin ook een rol, maar dat terzijde).
doorzetten: om een drempel over te komen leer je niet op te geven, leer je fouten te maken, leer je van je fouten te leren, leer je andere aanpakken te gebruiken, leer je hulp te vragen: kortom, je ontwikkelt je doorzettingsvermogen.
Ergens aan beginnen en doorzetten zijn persoonlijke kwaliteiten, die een leerling niet alleen bij wiskunde leert, maar waar wiskunde wel een belangrijke bijdrage aan kan leveren, omdat het binnen dit vak praktisch iedere leerling overkomt.
Wiskundige kennis en vaardigheden die noodzakelijk zijn bij het voorbereiden of aanleren van een beroep: in veel beroepen zul je een bepaalde mate van inhoudelijke wiskunde moeten kennen en kunnen. Die mate hangt af van je gewenste beroep en het niveau waarop je dat beroep of studie wilt uitvoeren/volgen. In het VO hebben we daarom de taak je daar zo goed mogelijk op voor te bereiden. Waarbij ik nog wel wil opmerken dat slechts een heel beperkt deel van de leerlingen een wiskundige studie gaan doen. Daarmee zeg ik dat we goed moeten nadenken over welke wiskunde we willen en moeten aanbieden aan welke leerlingen: niet voor iedere leerling is verregaande inhoudelijke wiskundige kennis nodig.
Misschien zijn er nog wel meer doelen te noemen van rekenen-wiskunde onderwijs, maar tot deze wil ik me nu even beperken. Gravemeijer heeft gelijk als hij de conclusie trekt dat het huidige dominante idee is dat we nu zwaar inzetten op beheersen van procedures en dientengevolge het onderwijs zo inrichten dat de route daar naartoe zo efficiënt mogelijk verloopt. En ik denk dat Gravemeijer ook gelijk heeft dat heel veel wiskunde docenten daarvan balen, omdat we daarmee voornamelijk het laatstgenoemde doel (en misschien het eerste doel ook wel voor een deel) hierboven nastreven en we niet toekomen aan de andere doelen: het laten denken als een wiskundige en de persoonlijke ontwikkeling. Van de meest gangbare wiskundemethodes in Nederland herken ik dit zeker bij Getal & Ruimte en Kern. Moderne Wiskunde geeft wat meer aandacht aan verwondering en (gestuurd denkend) ontdekken. De Wageningse methode daarentegen gaat uit van de denkende leerling, maar mijn ervaring daarbij is dat dit voor de meeste leerlingen een brug te ver is en behoorlijke docentsturing vraagt. Misschien gaat deze methode wel al uit van een bepaalde aanwezigheid van wiskundig denken bij de leerling.
Dat we met z’n allen op het spoor van de procedures zitten, is niet gek. Als je kijkt naar hoe een leerling na een aantal jaar zijn wiskunde schoolcarrière afsluit dan toetsen we toch voornamelijk procedures. Recentelijk zijn de wiskundige denkactiviteiten daar aan toegevoegd. We trainen leerlingen om een examen te kunnen halen, want daar staat of valt de vervolgstap van de leerling mee. De andere doelen die we nastreven zijn misschien moeilijk te meten, te kwantificeren of een norm op te zetten (als we dat al zouden willen): dus nemen we dat niet mee in de eindbeoordeling. Want laten we wel wezen: voor hoeveel leerlingen gaat het berekenen van een oppervlakte onder een kromme, of het berekenen van een hoek tussen twee balkjes van een bankje, een bepalende rol spelen voor zijn/haar toekomst? Terwijl dat wel het enige is wat we meten en waarop we een beslissing nemen.
Terug naar de trigger: ’Uitleggen en voordoen is … niet de juiste aanpak’. Wiskunde is voor mij bij uitstek een vak waarin ik veel modelleer, veel hardop denk, voordoe en samendoe met leerlingen. Misschien is het ook wel omgekeerd: ik doe iets voor en leg uit wat ik doe, waarom ik iets doe etc. Het modelleren doe ik niet alleen op de wiskundige procedures, maar ook op aanpak, strategie, en metacognitie bij leerlingen. Mensen leren van observeren, van nadoen en imiteren. En ja dat geeft niet altijd gelijk ook het inzicht en begrip. Maar als je eenmaal iets kunt, wordt het wel makkelijker om daarover na te denken. Als ik wil dat leerlingen leren nadenken over iets, dan pas ik een efficiënte methode toe om de vaardigheid aan te leren, zodat ik tijd maak om met leerlingen te gaan denken over wat we daar mee kunnen. Dus uitleggen en voordoen hebben zeker een functie. Echter niet uitsluitend.
Als we willen dat rekenen-wiskunde meer is dan door de hoepel van het CE te kunnen springen, dan moeten we met elkaar zorgen dat we het rekenen-wiskunde onderwijs anders organiseren en ook anders afsluiten voor leerlingen.
De genoemde triggers neem ik waar (en dat is mijn interpretatie) als fixed. Het lijkt andere aanpakken of gedachten uit te sluiten. Daar zit mijn allergie denk ik op: we sluiten iets uit, oordelen (in)direct over wat de ander doet.
Als ik het onderwijs iets gun dan is het wel om het vakmanschap bij de docent te laten. Voorzie die vakman van allerlei instrumenten die hem/haar daarbij kunnen helpen, waarbij het fijn is als bij het instrument ook gezegd wordt in welke omstandigheden of onder welke condities dat instrument het beste tot zijn recht kan komen. Maar laten we stoppen met prediken hoe het moet:
“Everything works somewhere; nothing works everywhere” (Dylan Wiliam)
Tom Sherrington heeft in een interessante blog geschreven over wat het betekent om evidence informed te werken. Kort gezegd: wees bewust van wat onderzocht is, ken de grenzen en beperkingen daarvan, blijf altijd kritisch en stem je onderwijs af op de situatie, de groep en het onderwerp.
Jörgen van Remoortere is wiskundedocent en initiatiefnemer van de Facebookgroep 'actief leren zonder cijfers.'
Dit artikel verscheen eerder op de website van Jörgen.
1 Waarom rekenen-wiskunde niet in het gangbare onderwijsmodel past
En blijf op de hoogte van onderwijsnieuws en de nieuwste wetenschappelijke ontwikkelingen!
Inschrijven
