Onderzoek

Optellen of vermenigvuldigen: voorkeur?

Moet je maal of plus doen in vraagstukken? Voor veel leerlingen is dat een probleem. Neem het volgende vraagstuk:  

‘2 pakjes potloden kosten samen 6 euro. Hoeveel kosten 4 pakjes potloden?’

Sommige leerlingen geven hier 8 euro als antwoord. In plaats van de prijs te verdubbelen omdat het aantal pakjes ook verdubbelt, redeneren ze: 4 pakjes is 2 meer dan 2 pakjes, dus dan is de prijs ook 2 euro meer dan 6 euro.

Het omgekeerde, dus vermenigvuldigen in plaats van optellen, gebeurt ook. Bijvoorbeeld in vraagstukken als:

‘Ellen en Kim lopen rondjes op een piste. Ze lopen even snel, maar Ellen startte later. Wanneer Ellen 3 rondjes heeft gelopen, heeft Kim er 6 gelopen. Wanneer Ellen 12 rondjes heeft gelopen, hoeveel heeft Kim er dan gelopen?’

Het goede antwoord luidt 15 rondjes, want Ellen loopt nog steeds 3 rondjes achter op Kim. Maar leerlingen antwoorden hier vaak 24 rondjes, want Kim loopt volgens hun redenering telkens dubbel zoveel rondjes als Ellen.

Voorkeur

Deze fouten in vraagstukken zijn niet enkel een kwestie van ‘niet kunnen’. Leerlingen blijken namelijk ook een voorkeur te hebben voor optellen of juist voor vermenigvuldigen. Dat werd onderzocht door meerdere groepen van telkens een 300-tal Vlaamse leerlingen in het midden en eind van de basisschool open opgaven te laten oplossen. Leg hen twee getallen voor die verbonden zijn met een pijl, bijvoorbeeld een 2 en een 4, en vraag hen om hetzelfde te doen bij een tweede pijl, die bijvoorbeeld vertrekt vanuit het getal 6. Sommige leerlingen zien hier meteen een optelling in, dus hun antwoord luidt 8, terwijl anderen juist een  vermenigvuldiging zien en aldus 12 antwoorden. Uiteraard zijn zowel 8 als 12 goede antwoorden, maar leerlingen bedenken niet dat er meer dan één oplossing is.

Sommigen vullen een 8 in het vakje in, anderen een 12. Aan welk getal dacht jij?

Deze voorkeur van leerlingen speelt niet enkel in open opgaven, maar ook wanneer ze vraagstukken oplossen.

De voorkeur van leerlingen blijkt
bovendien vrij hardnekkig te zijn

In een groep van zo’n 250 Vlaamse leerlingen in het midden en eind van de basisschool werd er speciaal gekeken naar leerlingen die kunnen optellen of vermenigvuldigen, en ook kunnen achterhalen welke bewerking bij een vraagstuk nodig is. Bij deze groep die alles in huis heeft om die vraagstukken te kunnen oplossen, wordt het duidelijk hoe die voorkeur speelt in de fouten die ze maken in vraagstukken: een voorkeur voor optellen speelt mee in het onterecht optellen in verhoudingsvraagstukken, terwijl een voorkeur voor vermenigvuldigen meespeelt in het onterecht vermenigvuldigen in optelvraagstukken. De voorkeur van leerlingen blijkt bovendien vrij hardnekkig te zijn. Zelfs als ze worden geconfronteerd met een andere oplossing houden ze stevig vast aan hun eigen voorkeur. Tegelijk zijn ze er zich niet van bewust. En precies deze combinatie zorgt ervoor dat hun voorkeur bij het oplossen van vraagstukken hen dwars zit.

Aan de orde stellen

Cruciaal is dat leerkrachten zich ervan bewust zijn dat hun leerlingen een voorkeur kunnen hebben. Vervolgens kunnen ze deze voorkeuren in de klas aan de orde stellen. Laat bijvoorbeeld leerlingen met verschillende voorkeuren samenwerken rond het volgende vraagstuk:

‘De klasgroep wordt opgesplitst voor de les Frans, maar er zijn niet genoeg werkboeken voor iedereen. Daarom beslist de leerkracht om 4 werkboeken te geven aan de 12 meisjes en 6 werkboeken aan de 18 jongens. Is dit eerlijk?’

Wie een voorkeur voor optellen heeft, vindt dit niet eerlijk voor de jongens, want veel meer jongens (12) dan meisjes (8) hebben geen eigen boek. Wie voor vermenigvuldigen gaat, vindt het wel eerlijk, want bij zowel de jongens als de meisjes delen telkens drie leerlingen een boek. Door hier samen over te praten leer je leerlingen om zowel de vermenigvuldiging als optelling te herkennen, en om hun voorkeur dus niet steeds blindelings te volgen

Dit onderzoek werd uitgevoerd in het kader van het doctoraat van Tine Degrande aan het Centrum voor Instructiepsychologie en –Technologie aan KU Leuven, onder begeleiding van Prof. dr. Wim Van Dooren en Prof. dr. Lieven Verschaffel, met als titel To add or to multiply? An investigation of children’s preference for additive or multiplicative relations.