Hersenen en rekenen

Blijkbaar gaat het om vaardigheden die in de 21ste eeuw nodig zijn om succesvol te kunnen functioneren in de maatschappij, en die heel anders zouden zijn dan de vaardigheden uit voorbije eeuwen. Het is een pakkende term, maar de overgang naar een nieuwe eeuw is natuurlijk een markeringspunt dat alleen maar berust op de toevallige wijze waarop onze jaartelling in elkaar zit.

Toch valt niet te ontkennen dat er stormachtige ontwikkelingen gaande zijn, met name op het gebied van de informatie- en communicatietechnologie. Denk aan internet, sociale media en computergames, of aan mobieltjes die steeds meer mogelijkheden bieden. We zijn bijna onafgebroken online, en daarmee beschikken we permanent over een onvoorstelbare schat aan informatie. Dat alles heeft onmiskenbaar een grote invloed op onze manier van leven en denken. De vraag is dus zeker gerechtvaardigd wat dit voor consequenties kan hebben voor het onderwijs, en meer in het bijzonder voor het rekenonderwijs op de basisschool.

Traditioneel rekenonderwijs
Het meest extreme standpunt hierover is dat het traditionele rekenonderwijs helemaal kan verdwijnen: alle berekeningen kunnen met een rekenmachine snel en foutloos worden uitgevoerd, dus waarom zou je leerlingen nog met rijtjes sommen vervelen? Zo'n extreme opvatting vindt echter vooralsnog weinig aanhang, en het is ook niet moeilijk om er steekhoudende argumenten tegenin te brengen. Wat bijvoorbeeld te denken van klachten van leraren in het voortgezet onderwijs dat sommige leerlingen niet weten dat het getal 6,0 hetzelfde is als 6? Of die menen dat 0,40 tien keer zo groot is als 0,4. Of die beweren dat je 3 niet door 15 kunt delen omdat 15 groter is dan 3. Om nog maar te zwijgen over leerlingen die niet uit hun hoofd weten wat de uitkomst is van 6 x 8. Zulke klachten illustreren dat het misschien toch niet zo gek is om op de basisschool nog steeds rekenonderwijs te blijven geven.

Er zijn inderdaad ernstige problemen op rekengebied. Bovengenoemde ervaringen zijn niet uitzonderlijk. Klachten over een ontoereikend getalbegrip en een gebrek aan elementaire rekenvaardigheden komen niet alleen uit het voortgezet en hoger onderwijs, maar ook uit de beroepspraktijk. Reeds in 2008 heb ik hierover een Zwartboek rekenonderwijs gepubliceerd met als ondertitel Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Wat daarin staat, heeft nog niets aan actualiteit ingeboet; belangstellenden kunnen het op mijn homepage lezen en downloaden.

Maar ik wil het hier niet in de eerste plaats hebben over de vraag waarom het met het rekenonderwijs zo fout is gelopen, maar meer over wat modern hersenonderzoek ons kan leren over de manier waarop mensen vaardigheden verwerven, en wat er daarbij in het brein gebeurt. De kennis daarover is de laatste jaren sterk toegenomen, en dat kan consequenties hebben voor het onderwijs, in het bijzonder voor het rekenonderwijs op de basisschool. Ik moet me daarbij wel bescheiden opstellen: ik ben wiskundige en geen hersenonderzoeker, en alle informatie hierover heb ik uit de tweede hand. Maar de toepassing van resultaten van modern hersenonderzoek op het rekenonderwijs wil ik wél voor mijn rekening nemen.

Neuronale netwerken
De Amerikaanse neurowetenschapper en Nobelprijswinnaar Eric Kandel was in de jaren zeventig van de vorige eeuw de eerste die liet zien dat geheugenvorming gepaard gaat met veranderingen in de verbindingen (synaptische contacten) tussen zenuwcellen (neuronen). Sindsdien is het steeds duidelijker geworden dat geheugenvorming en het aanleren van vaardigheden op het niveau van ons brein neerkomen op de vorming en de versterking van neuronale netwerken.

Hersenonderzoeker Dick Swaab vertelt in zijn bestseller Wij zijn ons brein op pagina 305 dat leren berust op veranderingen in de sterkte van synaptische contacten tussen neuronen in de hersenen. Oefening baart kunst, omdat door oefenen bestaande verbindingen versterkt en nieuwe verbindingen gevormd worden. Dat is de basis voor ons geheugen en al onze aangeleerde vaardigheden. En op pagina 23 schrijft hij: "Alles wat we denken, doen en laten gebeurt door onze hersenen. De bouw van deze fantastische machine bepaalt onze mogelijkheden, onze beperkingen en ons karakter; wij zijn onze hersenen."

Het onlangs verschenen boek Breindidactiek van Gerjanne Dirksen e.a. spitst zich toe op de toepassing van resultaten van modern hersenonderzoek op het onderwijs. De ondertitel ervan luidt: Helpen leren met breinkennis. Vooral de delen I. Neuromythen en het brein en II. Alle zes in de les, van dit vlot en toegankelijk geschreven boek zijn voor docenten basisonderwijs zeer relevant.

Het aanleren van vaardigheden
Wat gebeurt er nu eigenlijk in ons brein wanneer we een nieuwe vaardigheid aanleren? Daarnaar is veel onderzoek gedaan, waarbij men met zogenaamde fMRI-scans bij levende, bewuste personen kijkt welke hersengebieden bij het leren van vaardigheden een grote activiteit vertonen. Francis Rossen, die in Oxford promotieonderzoek doet op het gebied van de neurowetenschappen, gaf me de volgende beschrijving, die overigens in essentie ook in de genoemde boeken van Swaab en Dirksen te vinden is.

Wanneer je een nieuw probleem tegenkomt, bijvoorbeeld iets dat met rekenen te maken heeft, en hard moet nadenken over de oplossing ervan, vindt de meeste hersenactiviteit plaats in een gebied dat bekend staat als de rechter dorsolaterale prefrontale cortex. Dit is een van de plaatsen van het werkgeheugen. Door oefening wordt dit deel van de hersenen vervolgens beter en sneller in het oplossen van soortgelijke problemen, maar als er verder niets gebeurt, verdwijnt die vaardigheid ook weer heel snel, vaak al binnen een paar dagen. Het meest verrassende is echter dat er, na intensief oefenen overdag, 's nachts tijdens de slaap ook veranderingen optreden in een ander hersengebied, de mediotemporale schors, die de locatie is van het middentermijngeheugen. Die nieuwe structuren zorgen ervoor dat het oplossen van de problemen die de dag tevoren nog zoveel moeite kostten, nu met veel minder inspanning gepaard gaat. Het werkgeheugen vertoont daarbij minder activiteit omdat het middentermijngeheugen een groot deel van het werk heeft overgenomen.

Nieuwe verbindingen
In dit verband kan ik ook uit eigen ervaring putten. Als amateurpianist begin ik vrijwel elke dag met ruim een uur pianospelen. Bij het oefenen van moeilijke passages in een nieuw stuk moet ik heel geconcentreerd al mijn aandacht richten op de juiste noten en de goede vingerzettingen. Dezelfde passage herhaal ik daarom vaak, waarbij het telkens weer grote moeite kost om alles netjes op zijn plaats te krijgen. Maar het verbazingwekkende is dat zo'n passage de volgende ochtend plotseling veel gemakkelijker blijkt te gaan. Er is in de nacht, tijdens de slaap, dus iets gebeurd.

In het middentermijngeheugen zijn nieuwe verbindingen gevormd en nieuwe neuronale structuren aangebracht. Dat is niet iets statisch, zoals bij het opslaan van informatie in een computergeheugen, maar een dynamisch proces dat moet worden onderhouden en steeds verder kan worden uitgebouwd. Want dat is de andere kant van de zaak: als je die vaardigheden vervolgens niet blijft trainen, verdwijnen ze binnen enkele weken of maanden weer helemaal. Use it or lose it, zoals de Engelsen zeggen.

Maar het proces stopt daar niet. Verder oefenen zorgt ervoor dat er ook nieuwe structuren ontstaan in andere hersengebieden, onder andere in de rechter intraparietale sulcus, een van de locaties van het langetermijngeheugen. Deze structuren zorgen ervoor dat we de aangeleerde vaardigheden uiteindelijk als routines kunnen uitvoeren, zonder dat we daar onze aandacht speciaal op hoeven te richten. Het gaat dan als het ware op de automatische piloot. Maar het aanbrengen van structuren in het langetermijngeheugen vereist heel veel oefening. Ook dat kennen we uit de dagelijkse praktijk: denk aan sportbeoefening of gewoon aan fietsen, autorijden, lezen en schrijven, of aan het spreken van een vreemde taal. Als je dat goed onder de knie hebt, kost het je nauwelijks moeite. Het goede nieuws is dat routinematige vaardigheden die in het langetermijngeheugen zijn opgeslagen, vaak tot op hoge leeftijd intact blijven.

Leren rekenen
Het bovenstaande is zeker ook van toepassing op het leren rekenen. Jonge kinderen zullen als ze daarmee beginnen al hun aandacht nodig hebben voor de elementaire vaardigheden zoals tellen, doortellen en terugtellen. Daarna optellen en aftrekken; eerst onder de 10, dan onder de 20 en onder de 100. Met name de tientalpassering is een gevreesd struikelblok, terwijl ook de "onlogische" manier waarop wij in het Nederlands getallen van twee cijfers uitspreken (bijvoorbeeld vierendertig in plaats van dertig-vier) voor problemen zorgt. Wat dat betreft is het Engels in het voordeel (thirty-four).

Na optellen en aftrekken komt vermenigvuldigen, waarbij de beheersing op routineniveau van alle tafelproducten tot 10 x 10 de volgende mijlpaal is. Pas als die tafelproducten er goed in zitten, kunnen de volgende stappen gezet worden: vermenigvuldigen van een getal van meer cijfers met een getal van één cijfer, en als kroon op het werk het vermenigvuldigen volgens de standaardmethode onder elkaar van twee getallen van meer cijfers.

'Meeste rekenmethodes PO vooral gericht op activiteiten in het werkgeheugen
Transport van aangeleerde vaardigheden naar het middentermijngeheugen
en het consolideren ervan in het langetermijngeheugen worden schromelijk verwaarloosd'

Inoefenen
Bij het aanleren van al deze rekenvaardigheden speelt wat hierboven gezegd is over het werkgeheugen, het middentermijngeheugen en het langetermijngeheugen een belangrijke rol: nieuwe rekenvaardigheden moet je eerst met volle aandacht en in opperste concentratie aanbieden en inoefenen. De dagen daarna moet je dit intensief herhalen om de verworven vaardigheden in het middentermijngeheugen vast te kunnen leggen. En vervolgens zullen die vaardigheden door voortgezette oefening in het langetermijngeheugen een plaats kunnen krijgen, waarna ze routinematig kunnen worden uitgevoerd.

Het mooie hierbij is dat leren rekenen bij uitstek een cumulatief proces is: bij elke volgende stap worden de vorige stappen haast automatisch meegenomen en geoefend. Bij optellen en aftrekken van grote getallen gebruik je voortdurend het optellen en aftrekken onder de 20, bij vermenigvuldigen onder elkaar gebruik je steeds weer de tafelproducten en ook weer het optellen onder elkaar. En bij het latere delen-met-rest met behulp van een staartdeling komt alles tezamen: het schatten, het vermenigvuldigen (van de deler met een getal onder de 10) en het aftrekken onder elkaar. Mits goed en systematisch geoefend, kunnen al deze rekenprocedures op de basisschool als routinematige recepten in het langetermijngeheugen worden opgeslagen - iets waar je dan tot in lengte van dagen profijt van hebt.

Controleren op juistheid
Daar komt nog iets bij. Als je zulke berekeningen netjes op papier uitvoert, heb je ook altijd de gelegenheid om je antwoord zelf op juistheid te controleren. Bij optellen onder elkaar door de optelling ook "van beneden naar boven" uit te voeren. Bij aftrekken door "van onder naar boven" op te tellen (waarmee je eens te meer ziet dat aftrekken het omgekeerde is van optellen). En bij de staartdeling kun je je antwoord altijd controleren door een vermenigvuldiging: deler maal quotiënt plus rest moet weer het deeltal opleveren. Zulke controles bevorderen bovendien het begrip en het zelfvertrouwen. En je realiseert je weer wat een fantastische uitvinding het decimale positiestelsel is geweest: denk je eens in dat je zulke berekeningen met romeinse cijfers zou moeten uitvoeren!

Met de standaardrekenprocedures voor natuurlijke getallen als basis vallen alle verdere rekenvaardigheden in vruchtbare aarde: het rekenen met decimale getallen ("kommagetallen"), het rekenen met breuken (vereenvoudigen, onder één noemer brengen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en het toepassen van rekenen in het metrieke stelsel. Ook schattend rekenen en rekenen met verhoudingen en procenten vormt dan geen struikelblok meer. De rekenmachine kan gebruikt worden voor het doel waarvoor die bij uitstek geschikt is: voor het met begrip uitvoeren van gecompliceerde berekeningen met grote getallen.

Ik ben er overigens van overtuigd dat de problemen in ons rekenonderwijs grotendeels te wijten zijn aan het feit dat de meeste rekenmethodes voor de basisschool vooral gericht zijn op activiteiten die plaatsvinden in het werkgeheugen. Transport van aangeleerde vaardigheden naar het middentermijngeheugen en het consolideren ervan in het langetermijngeheugen worden echter schromelijk verwaarloosd, met als gevolg dat leerlingen het basisonderwijs verlaten met ernstige manco's in hun getalbegrip en hun rekenvaardigheden.

Tekst prof. dr. Jan van de Craats (1944), emeritus hoogleraar wiskunde en maatschappij aan de Universiteit van Amsterdam. Hij is de auteur van tal van boeken en artikelen over wiskunde, wiskundeonderwijs en rekenonderwijs.

Verwijzingen:

Dick Swaab: Wij zijn ons brein, Uitgeverij Contact, 2010, ISBN 978 90 254 3522 6

Gerjanne Dirksen e.a.: Breindidactiek, 2014, Uitgeverij Synaps, ISBN 978 90 8228 620 5

Zie verder mijn homepage waar veel over rekenonderwijs te vinden is, onder andere mijn Zwartboek rekenonderwijs – Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen.

Een goede rekensite met instructiefilmpjes en een keur aan gratis oefenmateriaal is De Sommenfabriek.

Lees ook het Didactief-dossier rekenen en wiskunde.

Verder lezen

1 Rekenen en wiskunde