Onderzoek

1 Balans van de vernieuwing 1990-2010

Eerst wordt ingegaan op de individuele peilingen van opgaven die zowel in 1987 als in 2004 zijn afgenomen. Deze vraagstukken hebben betrekking op alle rekenonderdelen uitgezonderd het cijferen. Niet alleen de goedscore maar ook de manier waarop kinderen de sommen oplossen wordt in de individuele peilingen geregistreerd.

Daarna worden de resultaten van de peilingen uit 2004 en 2010 vergeleken met die van 1987 en 1992 toen het rekenonderwijs nog hoofdzakelijk traditioneel was opgezet. Toepassingen krijgen speciaal de aandacht.

In de paragraaf ‘Getallen in de wereld’ worden de Nederlandse rekenprestaties van verschillende internationale onderzoeken uit 2004, 2011 en 2012 besproken.

1.1 Individuele peilingen 1987 – 2004

We beschikken over de scores van een aantal gemeenschappelijke opgaven van individuele, mondelinge toetsafnamen in de periodieke Cito-peilingen uit 1987 en 2004 die bij ongeveer 140 leerlingen zijn afgenomen.

De proefpersonen uit deze individuele peiling van 2004 zijn als volgt via een steekproef van een steekproef geselecteerd:

'Op ongeveer de helft van de 122 scholen vonden er in de namiddag bij enkele leerlingen (ongeveer zes per groep) individuele afnames van vijf of zes rekenopgaven plaats. De leerlingen werden op evenredige afstand uit een alfabetisch gerangschikte leerlingenlijst geselecteerd. De individuele afnames waren erop gericht enig inzicht te krijgen in en te kunnen rapporteren over de oplossingsprocedures die de leerlingen bij het maken van de opgaven gebruiken. [4, p.27]

De opgaven kunnen model staan voor het rekenonderdeel dat ze representeren. Ze hebben betrekking op getalinzicht, hoofdrekenen, schattend rekenen, breuken, verhoudingen en procenten.

Aangezien de steekproef van de individuele peiling te klein is, kan aan de goedscores van de betreffende opgaven geen absolute waarde worden toegekend. Maar een indicatie van de vergelijkende prestaties uit 1987 en 2004 geven ze wel. [11] [4]

De eerste vier opgaven van de individuele afnames dienen uit het hoofd berekend te worden.

8 ANKERSOMMEN

1) In 1987 loste 34% van de leerlingen de Wilma-som op via ‘hoofdcijferen’ en 44% via aanvullend optellen, waarbij soms ook de strategie ‘plus 7 minus 0,1’ werd gevolgd.

In 2004 wordt 10% minder gecijferd en 15% meer aangevuld, in beide gevallen met wat hogere goedscores – al met al geen opzienbarend verschil.

2) Hoewel de scores overeenkomen met de vorige som zijn de verschillen in oplossingsstrategieën bij de kuikenbouten-som groter. In 1987 rekende 37% via hoofdcijferen en 30% met handige rekenwijzen van 5 x 9 – 5 x 0,02 dan wel 89,90 : 2.

In 2004 cijfert 20% uit het hoofd en rekent 68% handig.

3) In 1987 gaf 36% van de leerlingen bij de Yvonne-som het antwoord 13,091 omdat de meeste getallen drie cijfers achter de komma hebben, en kwam 6% tot 0,0013091 door het aantal cijfers achter de komma bij elkaar op te tellen; 13% rekende globaal schattend volgens 700 + 600 om de komma goed te kunnen plaatsen.

In 2004 redeneert slechts één op de tien leerlingen vormelijk via het tellen van de cijfers achter de komma’s; 55% van de kinderen rekent globaal met ronde getallen.

Opzienbarend

De Cito-onderzoekers noemen de toename van het percentage goede antwoorden ‘opzienbarend’. Maar nog opmerkelijker is wellicht het hoge percentage komma-tellers dat zich in 1987 door irrelevante vormkenmerken liet (mis)leiden.

4) Ook de prijzenpot-som geeft een grote toename van de goedscore te zien. En weer springt de afname van het cijferend rekenen uit het hoofd en de toename van het globale rekenen in het oog. In 1987 rekende 27% van de leerlingen via 6400 : 8, terwijl in 2004 maar liefst 58% zo handig rekent. Hoofdcijferen neemt in deze periode af van 36% naar 16%.

De condities waaronder de volgende vier opgaven werden afgenomen, zijn dezelfde als bij het vorige viertal. Alleen hoefden de sommen nu niet uit het hoofd berekend te worden.

5) Het verschil in goedscores in de Hiemden-som is vrijwel volledig toe te schrijven aan het al dan niet opmerken dat ½ gekoppeld is aan ‘procent’ en dus niet op zichzelf staat. In 1987 zag 43% van de leerlingen dat ½ benoemd is en in 2004 ziet 58% dat. De overige leerlingen berekenen voor het merendeel de helft van 50 000 en komen zo op 25 000 hoogbejaarden uit!

6) In 1987 rekende 46% kort en goed volgens ‘de rest is ¼ en daarvan is de helft 1/8. Van de leerlingen volstond 16% met de berekening van de rest en 11% gaf de helft als antwoord.

In 2004 volgt maar liefst 81% de eerste oplossingsprocedure, zij het in vele varianten waarbij gebruik wordt gemaakt van visualiseringen (cirkel en strook) en omzettingen naar procenten en kommagetallen. De forse stijging van de goedscore is hiermee te verklaren, want in bijna alle gevallen zijn de leerlingen daarbij succesvol.

7) De oplossing ‘700 ijsjes is 70 x 10 ijsjes, dus 2, 3 en 5 moeten ook met 10 vermenigvuldigd worden’ werd in 1987 door 48% van de leerlingen gevolgd, en in 2004 doet 73% dat. De meest voorkomende verkeerde oplossing was die waarbij 2, 3 en 5 met 10 worden vermenigvuldigd en die kwam in 1987 vaker voor dan in 2004. Hetzelfde geldt voor ‘geen antwoord’.

8) In 1987 rekende 7% van de leerlingen via ‘10% is € 6, dus 30% is € 18, dus …’ In 2004 volgt 65% deze werkwijze! Nu worden ook minder begripsfouten gemaakt als: ’€ 60 – € 30’ en ‘30% is 1/3 deel is € 20’.

In het Cito-rapport wordt het volgende over deze som opgemerkt:

‘Op basis van deze resultaten kunnen we concluderen dat leerlingen meer inzicht in procenten hebben gekregen. Niet alleen maken veel meer leerlingen procentopgaven, zoals de hiervoor besproken individueel afgenomen opgaven, goed in 2004, maar ook veel meer leerlingen gebruiken in 2004 in vergelijking met 1987 oplossingsprocedures waarmee ze op een efficiëntere manier tot de oplossing komen. [4, p.157]

Conclusie: In de eerste vier voorbeelden van de individuele peiling valt op hoezeer het handige en globale rekenen toenemen, en daarmee ook de goedscores. De laatste vier opgaven laten zien dat de leerlingen in 2004 meer inzicht in verhoudingen, breuken en procenten hebben dan in 1987.

1.2  Individuele peilingen van het cijferen in 2004 en 2011

Voor het cijferen kunnen we bij de individuele, mondelinge peiling niet over gemeenschappelijke opgaven uit 1987 en 2004 beschikken. Maar in de individuele peiling van 2004 zijn bij 140 leerlingen wel drie cijfersommen over vermenigvuldigen en delen opgenomen. In het volgende beschrijven we de oplossingen en vermelden de goedscores van deze opgaven.

9) Een boekhandelaar verkocht het afgelopen  jaar 704 boekenbonnen van 25 euro. Hoeveel euro is dat? 71%

In 2004 rekenen 2 van de 3 kinderen deze keersom cijferend uit met een goedscore van ruim 80%. Een kwart splitst 704 in 700 + 4, of 25 in 20 + 5 en gaat dan vermenigvuldigen – een omslachtige werkwijze die wellicht van de PP-leerlingen afkomstig is. Ruim de helft van deze berekeningen is correct.

10) De Meibloem heeft 32 nieuwe geschiedenisboeken gekocht voor € 736,--Hoeveel is de prijs per boek? 84%

Twee derde deel van de leerlingen gebruikt de kolomdeling en een kwart de staartdeling. De laatste aanpak met een successcore van 92% tegenover de eerste van 86%.

11) De handbalvereniging verzamelt iedere maand oud papier.  Vorig jaar verzamelde men 7849 kg. Hoeveel kg is dat gemiddeld per maand? Rond je uitkomst af op een heel getal. 60%

Dezelfde verdeling zien we bij deze opgave, alleen zijn de goedscores hier lager: 64% voor de kolomdeling en 73% voor de staartdeling die vaker door de sterke rekenaars wordt gebruikt zodat het verschil tussen de scores van deze aanpakken nog wat geringer is.

In de individuele peiling van 2011 is aan elke leerkracht van de onderzochte scholen gevraagd om een goede, een gemiddelde en een zwakke rekenaar te selecteren.

Per school hebben drie leerlingen en in totaal 329 leerlingen in het bijzijn van een testleider de volgende vijf opgaven gemaakt (bij elke opgave is het percentage goed vermeld).

1) 24 tennisballen voor € 36. Hoeveel euro is dat per tennisbal? 72%

45 procent van de leerlingen losten deze som met een (kolomsgewijze) staartdeling op – goedscore bijna 80%. En 30 procent ging niet-algoritmisch tewerk – goedscore ruim 90%. Vele oplossingen bleken niet codeerbaar – goedscore 70%.

2) Jozien belt voor € 0,15 per minuut met haar mobiele telefoon. De kosten van haar laatste gesprek zijn € 4,20. Hoeveel minuten heeft ze gebeld? 74%

Ook deze som is door 45 procent van de leerlingen met behulp van een (kolomsgewijze) staartdeling opgelost – goedscore bijna 80%. Nu rekent 35 procent niet algoritmisch – goedscore 80%. De 5 procent niet codeerbare oplossingen halen een goedscore van 75 procent.

3) Drie kinderen verdelen € 23,70 eerlijk. Hoeveel euro krijgt ieder? 76%

Ruim de helft van de kinderen lost deze opgave met een (kolomsgewijze) staartdeling op – goedscore 85%. Een derde deel hanteert de strategie van op-vermenigvuldigen: 7x plus 0,9x – goedscore ruim 80%. Tien procent rekent handig: ‘24 : 3 = 8, voor ieder 0,10 cent te veel; dus ieder 7,90’ – goedscore 70%.

4) 24 x 19 = …    73%

Deze pure keersom wordt op diverse manieren berekend: handig via 24 x 20, kolomsgewijs en cijferend – alle met een goedscore van 75% procent en hoger. Een derde deel van de leerlingen rekent splitsend en haalt een goedscore van 60%.

5) Een laptop kost € 749,50. Juf Mirjam koopt voor school 5 laptops. Hoeveel moet ze betalen? 82%

De verscheidenheid aan oplossingsmethoden is bij dit vraagstuk zelfs nog iets groter doordat 15 procent herhaald optelt – goedscore bijna 80%.

De cijferende oplossing die door 40 procent wordt gekozen haalt een goedscore van ruim 90%.

De handige aanpak via 5 x 750 komt met een goedscore van bijna 70% het laagste uit.

Conclusie. De goedscores van deze gevarieerde reeks opgaven laten nog eens duidelijk zien dat het onderdeel ‘bewerkingen’ van de PPON-leerstofindeling niet zonder meer gelijk gesteld mag worden met ‘cijferen’. De leerlingen blijken namelijk diverse andere rekenmethodes toe te passen – vaak van de context en van de specifieke aard van de  getallen die daarin besloten liggen. Omdat in de mondelinge afname de kinderen moesten tonen hoe ze tot de uitkomst waren gekomen, konden ze niet met louter hoofdrekenen en het antwoord volstaan.

Hoe het zij, de goedscores geven een ‘normaal’ patroon te zien: in ieder geval zijn ze niet beduidend lager dan die met het traditionele rekenonderwijs behaald zouden zijn. [9, p.133-140]

1.3 Klassikale peilingen van 1987, 2004 en 2011

Vergelijking van de resultaten uit 1987 toen 65 procent van de scholen nog een procedurele methode gebruikte, met die van 1997 toen 80 procent een realistische methode had ingevoerd, laat zien dat er nog betrekkelijk weinig was gewijzigd.

Slechts op 3 van de 21 onderdelen stegen de uitkomsten ten opzichte van 1987 met 0,5 sd of meer, namelijk bij getalinzicht, hoofdrekenen (+, - ) en schattend rekenen.

Maar na 2000 veranderde dit toen alle scholen een realistische methode gingen gebruiken, waarvan 70 procent PP of WiG.

Van de 21 onderwerpen uit de rubrieken rekenen, meten en meetkunde geven we in het volgende alleen de vergelijkende scores als de verschillen meer dan 0,5 standaarddeviatie bedragen.

De opbrengst van het domein Getalinzicht blijkt 0,95 sd groter te zijn. Hoofdrekenen (+,-) neemt met 0,50 sd toe, en schattend rekenen met 1,00 sd – een middelgrote tot grote stijging bij deze onderwerpen van zo’n 10 tot 20 procentpunten. Alleen bij hoofdrekenen (x,:) bestaat er nagenoeg geen verschil. De goedscores van Bewerkingen nemen sterk af.

De verschillen bij verhoudingen en breuken zijn slechts gering in positieve zin veranderd. Dit in tegenstelling tot die van ‘procenten’, waar de goedscore wel aanzienlijk is toegenomen

In de periode 2004-2011 is weinig veranderd. [9]

Alleen bij ‘toepassingen m.b.v. de rekenmachine’ en bij ‘tabellen, grafieken en verbanden’ zijn de toenames ten opzichte van 2004 tien procent en meer. T.o.v. 1987 zijn verschuivingen spectaculair.

Hoe men de vergelijkende resultaten sinds 1987 op de verschillende domeinen waardeert, hangt in hoge mate af van de waarde die men aan cijferen in vergelijking met getalinzicht, hoofdrekenen, schattend rekenen, procentrekenen en het kunnen maken van toepassingen met gebruik van de rekenmachine wenst toe te kennen.

2 Internationaal vergelijkend onderzoek
 

2.1 TIMSS-toets

We beginnen met een voorbeeld van aftrekken in de vorm van aanvullend optellen:

Ad wil graag weten hoeveel zijn kat weegt.

Hij weegt eerst zichzelf en ziet dat de weegschaal 57 kg aangeeft.

Daarna gaat hij samen met zijn kat op de weegschaal staan.

Nu geeft de weegschaal 62 kg aan.

Hoe zwaar is de kat?

Deze opgave is in het internationale TIMSS-onderzoek van 2008 aan leerlingen halverwege groep 6 opgegeven. [6] De Nederlandse kinderen behaalden op dit vraagstuk een goedscore van 85 procent.

Geen opzienbarend resultaat zou je zeggen, omdat de kale som 57 + .. = 62 eigenlijk voor vrijwel geen leerling van groep 6 nog een probleem zou moeten opleveren. Maar vergeleken met de scores van de andere 35 landen uit dit onderzoek bleek het Nederlandse resultaat zo slecht nog niet.

Het internationaal gemiddelde bedroeg 60 procent – exact de goedscore van de Verenigde Staten. De prestaties van de acht andere West-Europese landen varieerden van 80 procent voor Duitsland tot 63 procent voor Engeland. Alleen Taiwan, Singapore, Rusland en Hongkong kwamen net boven Nederland uit.

Het TIMSS-onderzoek uit 2011 waaraan 50 landen deelnamen, bestaat uit de onderdelen rekenen, meetkunde en gegevensweergave. [8] De scores op deze drie terreinen lopen bij de Nederlandse kinderen nogal uiteen en dus ook de posities die ze daarmee op de internationale ranglijst bezetten. Met rekenen eindigen ze in de top tien, bij meetkunde in de middenmoot en met gegevensweergave halen ze eveneens de top. Om deze variatie te kunnen verklaren, moet eerst iets worden gezegd over de zogenoemde dekkingsgraad, het percentage opgaven van de betreffende toets dat betrekking heeft op behandelde leerstof in het betreffende land.

Algemeen geldt dat de top tien landen een gemiddelde dekkingsgraad hebben die 25 procent boven die van Nederland ligt – 85 tegenover 60 procent. Alleen bij het domein ‘gegevensweergave’ heeft Nederland een gemiddelde dekkingsgraad en eindigt op dit domein als zesde, direct achter de vijf superieure Aziatische landen. Daarentegen heeft Nederland bij meetkunde de op twee na laagste dekkingsgraad en eindigt op dit onderdeel als achttiende.

En juist in het relatief zwakke meetkundedomein kan men de grote impact van de al dan niet behandelde leerstofonderwerpen op de prestaties zien. Met de ‘passende’ voorbeeldopgave die in het onderzoeksverslag over ruimtemeetkunde wordt gegeven, haalt Nederland het een na beste resultaat, terwijl de slecht passende voorbeeldopgave over vlakke meetkunde ons op de veertigste plaats brengt.

Het is aannemelijk dat een hogere dekkingsgraad
tot hogere goedscores op de internationale rekentoets voor groep 6 leidt,
maar dan moet bestaand curriculum ingrijpend gewijzigd worden

Alles overziende is het aannemelijk dat een verhoging van de dekkingsgraad tot hogere goedscores op de internationale rekentoets voor groep 6 zal leiden. Maar om dit te bereiken zou het bestaande curriculum ingrijpend gewijzigd moeten worden – cijferen een jaar eerder laten beginnen, optellen en aftrekken van breuken vervroegen en het meetkundeprogramma radicaal veranderen.

Het zal echter duidelijk zijn dat men hier niet zomaar toe wil overgaan – de internationale TIMSS-toets is ten slotte niet de maat aller rekenzaken. Net zo min als men in naburige landen als Duitsland, Zweden, Noorwegen en Oostenrijk – allemaal landen met een betrekkelijk lage dekkingsgraad in groep 6 en trouwens alle met lagere scores dan Nederland – hun rekenprogramma door de TIMSS-toets laten bepalen.

Hoe zou Nederland het er vanaf brengen indien de rekenprestaties over het complete rekenprogramma gemeten zou worden?

Aan het TIMSS-onderzoek bij 14-jarigen nam Nederland voor het laatst in 2004 deel – een jaargang waarin alle leerlingen op de basisschool met een realistische rekenmethode waren onderwezen. Op het rekenonderdeel kwam Nederland toen als ‘best of the west’ uit de bus, namelijk als zesde na vijf Aziatische landen en stadstaatjes. [6]

2.2 PISA-toets

Kenmerkend voor de PISA-toetsen voor 14-jarigen is dat ze vooral de prestaties van het praktische, toepassingsgerichte rekenen meten. [4]

Een voorbeeld van een PISA- opgave:

Vliegerschepen

De vliegers hebben het voordeel dat ze zich op een hoogte van 150 m bevinden. Daar is de windsnelheid ongeveer 25% hoger dan op het dek van het schip.

Met welke snelheid ongeveer blaast de wind in de vlieger als op het dek van het schip een windsnelheid van 24 km/u wordt gemeten?

A  6 km/u

B 18 km/u

C 25 km/u

D 30 km/u

E 49 km/u

De goedscore op één van de acht ankersommen uit de eerste paragraaf (‘30% korting op een koptelefoon van € 60’) liet zien dat een dergelijke som moeilijk is voor de leerlingen die zonder nadenken eerst 1% van 24 m gaan berekenen – een typisch procedurele aanpak welke de leerlingen, die een conceptuele methode gebruiken, veel minder vaak volgen.

Het zuinige commentaar bij de Nederlandse rekenscore van de PISA-toets (tweede van de 34 OESO-landen!) die in 65 landen (waaronder 4 Aziatische stadstaatjes en Chinese provincies) werd afgenomen, luidt als volgt:

‘Ook bij het subdomein Hoeveelheid is de positie van Nederland, zeker binnen de OESO-ranglijst, niet slecht. In de lijst van OESO- en partnerlanden is Nederland 7e, van de OESO-landen is Nederland het 2e land. En ook hier kunnen we constateren dat het OESO-land (Zuid-Korea) dat boven Nederland in de ranglijst staat, niet significant afwijkt van Nederland. Nederland scoort een gemiddelde van 532. In 2003 nam Nederland de 6e positie in van de OESO-landen met een score van 528. Dit lijkt toch wel te duiden op een lichte stijging. Wellicht zien we hier het gevolg van de toegenomen nadruk die we in het voortgezet onderwijs in Nederland de laatste jaren constateerden ten aanzien van de duidelijk aan dit subdomein gerelateerde rekenvaardigheid.’ [5, p.33]

In het internationale onderzoek van PIAAC (2012) behaalt de Nederlandse groep van 16-24 jarigen de eerste plaats voor rekenvaardigheid van de 24 OESO-landen. [1] PIACC staat voor ‘Programme for the International Assessment of Adult Competencies’. [2] Dit internationale onderzoek betreft de kernvaardigheden van taal en rekenen voor werk en leven onder 16- tot 65-jarigen. In 2013 namen ruim 5000 (jong) volwassenen deel aan dit onderzoek dat in 24 OECD-landen werd afgenomen.

2.3 Terug naar de toekomst

Dertig jaar geleden, zo bleek uit onderzoek van Interview, vonden ouders en leraren basisonderwijs hoofdrekenen en toegepast rekenen belangrijker  dan cijferen, waaraan de leraren uit het voortgezet onderwijs meer waarde hechtten. [1] Onder rekendeskundigen bestond destijds grote overeenstemming om het breukrekenen op de basisschool te wijzigen en te beperken. [10]

De grote waarde die destijds aan de algemene doelstelling van probleem-oplossen werd toegekend, blijft onverminderd gelden -  een waarde die niet of moeilijk met periodieke peilingen en internationale toetsen valt te meten.

Literatuur

1) Ahlers, J. (1987). Grote eensgezindheid over basisonderwijs. School, 5,4 p.4-10.

2) Buisman, M., e.a. (2013). PIAAC: Kernvaardigheden voor werk en leven. Maastricht: ROA.

3) Janssen, J., F. van der Schoot, B. Hemkes & N. Verhelst (1999). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Arnhem: Cito.

4) Janssen, J., F. van der Schoot & B. Hemkes (2006). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Arnhem: Cito.

5) Kordes, J., e.a. (2013). Resultaten PISA-2012. Praktische kennis en vaardigheden van 15-jarigen. Arnhem: Cito.

6) Meelissen, M. & B. Doornekamp (2004). TIMSS-2003. Nederland: leerprestaties in exacte vakken in het voortgezet onderwijs. Enschede: Universiteit Twente.

7) Meelissen, M & M. Drent (2008). TIMSS-2007. Nederland: leerprestaties in exacte vakken in het voortgezet onderwijs. Enschede: Universiteit Twente.

8) Meelissen, M., e.a. (2012). PIRLS- en TIMSS-2012. Trends in leerprestaties in Lezen, Taal en Natuuronderwijs. Nijmegen: Radboud Universiteit.

9) Scheltens, F., B. Hemker & J. Vermeulen (2013). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5. Arnhem: Cito.

10) Treffers, A. (2015). Weg van het cijferen. Rekenmethodes van 1800 tot heden.

11) Wijnstra, J. (red.) (1988). Balans van het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool 1. Arnhem: Cito.