Het PISA 2021 Mathematics Framework biedt een interessant referentiepunt en is een stap in de richting van toekomstgericht reken-wiskundeonderwijs.
PISA is een programma van de OESO, dat internationaal onderzoek uitvoert naar wat 15-jarigen kunnen op het gebied van lezen, wiskunde en natuurwetenschappen. Het doel is niet om vast te stellen of leerlingen kunnen reproduceren wat ze op school hebben geleerd, maar om na te gaan of de leerlingen wat ze weten en kunnen creatief kunnen toepassen in nieuwe situaties. Het PISA 2021 Mathematics Framework betreft een inhoudelijke verkenning, die bedoeld is als referentiekader voor het ontwikkelen van toetsen die in 2021 zullen worden afgenomen. Het Framework is vooral interessant omdat het aangrijpingspunten biedt voor een toekomstgericht curriculum. In het Framework wordt namelijk expliciet rekening gehouden met de veranderingen die in de wereld plaatsvinden:
In recent times, the digitisation of many aspects of life, the ubiquity of data for making personal decisions involving initially education and career planning, and, later in life, health and investments, as well as major societal challenges to address areas such as climate change, governmental debt, population growth, spread of pandemic diseases and the globalising economy, have reshaped what it means to be mathematically competent and to be well equipped to participate as a thoughtful, engaged, and reflective citizen in the 21st century. (blz. 3)
Dit is een aspect dat in de discussie rond Curriculum.nu mijns inziens nog te weinig aandacht krijgt. Ik wil de ideeën die in het PISA Framework worden uitgewerkt daarom graag voor het voetlicht brengen. Ik heb er ook kanttekeningen bij maar eerst wil ik de belangrijkste componenten van het Framework beschrijven, om daarna in te gaan op enkele tekortkomingen.
Nu computers steeds meer reken-wiskundige taken overnemen, zal het reken- en wiskundeonderwijs zich meer moeten gaan richten op reken-wiskundige vaardigheden die aanvullend zijn op wat de computer kan en doet. Nu ligt het accent nog vaak op vaardigheden die concurrerend zijn, dit zou moeten verschuiven naar vaardigheden die complementerend zijn. Dit betreft bijvoorbeeld het weten wanneer en hoe je rekenen en wiskunde kunt gebruiken. In de PISA-doelen is dit uitgewerkt in mathematical literacy en mathematical modelling. In die zin operationaliseert PISA een belangrijk element van de reken-wiskundedoelen voor deze tijd van digitalisering. Het PISA 2021 Mathematics Framework gaat hierin nog verder door mathematical reasoning, computational thinking en 21st century skills, als nieuwe thema’s toe te voegen. Daarmee bieden deze thema’s, die ik hieronder nader toelicht, aangrijpingspunten voor een toekomstgericht reken-wiskundecurriculum.
Mathematical literacy is van begin af aan een centraal thema geweest in de PISA-onderzoeken. Het uitgangspunt van PISA is dat de onderzoeken zich moeten richten op wat voor burgers belangrijk is om te weten en te kunnen in situaties waarin wiskunde een rol speelt. Het PISA-document maakt uiteraard geen onderscheid tussen arithmetic en mathematics – dat doet niemand buiten Nederland. Ik zal in het vervolg de aanduiding ‘wiskunde’, daarom als een omvattende term gebruiken, die ook het rekenen omvat. Mathematical literacy wordt gedefinieerd als
the capacities of individuals to reason mathematically and use mathematical concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. (blz. 6; cursief origineel)
Er worden hierbij vier typen contexten onderscheiden: persoonlijk, beroepsmatig, maatschappelijk en wetenschappelijk.
Persoonlijke contexten betreffen activiteiten van het individu, zijn of haar familie en van de peer group. Dit kan variëren van koken en winkelen tot persoonlijke financiën.
Beroepsmatige contexten zijn gericht op de wereld van het werk. Als voorbeelden worden zaken als meten, kostenberekening, boekhouden, kwaliteitscontrole en werkgerelateerde besluitvorming genoemd – zowel met als zonder hulp van technologie.
Maatschappelijke contexten betreffen zaken die de groep waartoe iemand behoort aangaan, op lokaal, nationaal of internationaal niveau. Voorbeelden zijn hier openbaar vervoer, overheidsbeleid, gezondheid, nationale statistieken en economie.
Wetenschappelijke contexten betreffen het toepassen van wiskunde op fenomenen uit de werkelijkheid en onderwerpen die te maken hebben met wetenschap en technologie. Dit omvat een breed gebied, van weer en klimaat tot geneeskunde en ruimtevaart. Ook de wiskunde zelf wordt daaronder gerekend. ‘Wiskunde in contexten’ wordt hier dus ruimer opgevat dan in de Nederlandse discussie gangbaar is.
Inhoudscategorieën
Naast de hierboven genoemde typen contexten worden vier overkoepelende inhouds-categorieën onderscheiden, die denk ik voor zichzelf spreken: quantity, uncertainty & data, change & relationships, space & shape. Voor elk van deze centrale leerstofgebieden zijn onderwerpen geselecteerd die in de toets extra nadruk zullen krijgen. Enerzijds omdat dit onderwerpen zijn die je in je volwassen leven kunt tegenkomen. Anderzijds omdat ze de wiskunde vertegenwoordigen die je in hoogtechnologische bedrijven nodig hebt. Dit zijn:
computersimulaties
voorwaardelijke beslissingen
verschillende vormen van groei
meetkundige schattingen.
Mathematical modelling vormt een kernelement van mathematical literacy. De modelleer-cyclus waarmee mathematical modelling wordt gekarakteriseerd bestaat uit de stappen, formuleren, gebruiken, interpreteren en evalueren (figuur 1). Daarbij wordt opgemerkt dat het niet altijd nodig is de volledige modelleer-cyclus te doorlopen. Een deel van het modelleerwerk is vaak al gedaan door anderen. De probleemoplosser kan dan bijvoorbeeld gebruik maken van eerder gevonden formules of grafieken. Soms kunnen computersimulaties worden gebruikt om de invloed van bepaalde variabelen in de gegeven probleemcontext te onderzoeken.
Figuur 1. Mathematical modelling cycle PISA 2015 Framework.
De leerlingen moeten in de eerste plaats herkennen waar zij hun wiskundige kennis kunnen gebruiken. Vervolgens moeten ze het gesitueerde probleem kunnen vertalen in wiskundige termen (formulate). Er moet een wiskundige structuur in worden aangebracht, inclusief het identificeren van variabelen en het introduceren van wiskundige representaties. Soms is het bovendien nodig om het probleem te simplificeren om het oplosbaar te maken. Hierbij wordt opgemerkt dat het gebruik van (wiskundige) modellen voor het oplossen van realistische toepassingsopgaven van de leerlingen vraagt om hoofd- en bijzaken te onderscheiden en het probleem terug te brengen tot de kern.
Het resultaat is een wiskundig probleem dat met wiskundige middelen kan worden opgelost (employ). Daarbij moet de leerling beslissen welke concepten, algoritmen of procedures zullen worden ingezet. Van de leerlingen wordt verwacht, dat ze hierbij ook de zogeheten, computational thinking skills inzetten.
Ten slotte moeten ze de wiskundige resultaten interpreteren in de context van de oorspronkelijke probleemstelling (interpret) en moet worden beoordeeld of de gevonden antwoorden adequaat zijn (evaluate). Dit kan ertoe leiden dat een nieuwe modelleer-cyclus nodig wordt geacht. De auteurs voegen hieraan toe, dat de overgangen binnen de modelleer-cyclus zelf ook een iteratief karakter hebben. Vaak zal de probleemoplosser heen- en weer gaan tussen de genoemde stappen om ervaren blokkades op te lossen.
Nieuw in het 2021 Framework is de nadruk die wordt gelegd op mathematical reasoning, dat volgens de auteurs een centrale rol speelt in alle stappen van het modelleerproces. Om dit te accentueren wordt het modelleermodel op een nieuwe manier gevisualiseerd (figuur 2).
Figuur 2. Mathematical modelling cycle 2021 Framework.
Mathematical reasoning wordt gekarakteriseerd met de volgende trefwoorden:
identificeren, herkennen, organiseren, verbinden en vertegenwoordigen;
construeren, abstraheren, evalueren, afleiden, rechtvaardigen, verklaren en verdedigen;
interpreteren, oordelen, bekritiseren, weerleggen en kwalificeren.
De auteurs geven aan dat mathematical reasoning een rol speelt in de eerste fase (formulate), bij het bewerken van ambigue, rommelige, situaties in de werkelijkheid naar welomschreven wiskunde. Ook de hierop volgende wiskundige uitwerking (employ) vraagt mathematical reasoning. Hieronder valt volgens de auteurs ook het uitvoeren van berekeningen, het bewerken van algebraïsche formules en vergelijkingen en wiskundige modellen, het analyseren van wiskundige diagrammen en grafieken, het ontwikkelen van wiskundige beschrijvingen en -verklaringen en het gebruiken van wiskundige tools. Bovendien komt mathematical reasoning hier ook naar voren in wiskundige activiteiten abstraheren, algoritmiseren, structureren en generaliseren.
Bij het terugvertalen en het beoordelen van de resultaten in relatie tot de oorspronkelijke probleemcontext (interpret & evaluate) is in de ogen van de auteurs eveneens sprake van mathematical reasoning. Daarbij hoort ook het besluiten welke aspecten van de oplossing benadrukt moeten worden bij het presenteren van de oplossing. Verder wordt opgemerkt dat mathematical reasoning meer omvat dan het oplossen van problemen alleen. Het speelt ook een rol bij het vormen van gefundeerde oordelen over maatschappelijke onderwerpen die wiskundig kunnen worden benaderd en het oordelen over de informatie die ons via allerlei kanalen bereikt.
Helder argumenteren wordt volgens de Framework-auteurs in deze maatschappij steeds belangrijker en wiskunde kan daarbij een nuttige rol spelen. Met een wiskundige redenering kun je immers resultaten en conclusies bereiken waar je zeker van kunt zijn. Er worden twee vormen van mathematical reasoning onderscheiden: deductief en inductief redeneren. Deductief redeneren wordt omschreven als de in de wiskunde gebruikelijke manier van het trekken van conclusies uit heldere aannames. Onder inductief redeneren worden statistische redeneringen verstaan. Daarbij gaat het om het nemen van gefundeerde beslissingen wanneer er variantie en onzekerheid in het spel zijn.
Uiteraard kan wiskundig redeneren en modelleren niet zonder een stevige inzichtelijke basis. In het Framework wordt een reeks van sleutelbegrippen genoemd, die in de tekst verder worden uitgewerkt. Het gaat hierbij om inzicht in:
hoeveelheden, getal-systemen en hun algebraïsche eigenschappen;
abstracties en symbolische representaties;
wiskundige structuren en regelmatigheden;
relaties tussen hoeveelheden;
wiskundige modellen en variantie.
Met het oog op de digitalisering van de maatschappij wordt een belangrijke rol toegekend aan computational thinking:
The increasing and evolving role of computers and computing tools in both day-to-day life and in mathematical literacy problem solving contexts is reflected in the recognition in the PISA 2021 framework that students should possess and be able to demonstrate computational thinking skills as they apply to mathematics as part of their problem-solving practice. (blz. 5)
Computational thinking skills worden getypeerd als de manier waarop computer-wetenschappers denken: het betreft de denkprocessen die aan de orde zijn bij het zó structureren van problemen dat er oplossingsprocedures kunnen worden geformuleerd die door een computer kunnen worden uitgevoerd. Daarbij worden denkvaardigheden genoemd als het identificeren en ontrafelen van patronen, het gebruik van abstractie en het formuleren van algoritmes. En, besluiten welke IT-tools kunnen worden ingezet voor het analyseren of oplossen van een probleem.
Computer-based assessment
In Pisa 2021 wordt volledig overgegaan op computer-based assessment. Dit biedt de mogelijkheid om mathematical literacy te toetsen die past bij de wiskunde in de wereld van vandaag, waar het gebruik van allerhande digitale en niet-digitale hulpmiddelen, software en rekenapparaten immers gangbaar is:
Computer-based mathematical tools are in common use in workplaces of the 21st century, and will be increasingly more prevalent as the century progresses both in the workplace and in society generally. The nature of day-to-day and work-related problems and the demands on individuals to be able to employ mathematical reasoning (both deductive and inductive) in situations where computational tools are present has expanded with these new opportunities – creating enhanced expectations for mathematical literacy. (blz. 12)
Computer-based assessment biedt de mogelijkheid gegevens uit de echte wereld te gebruiken, wiskundige modellen of simulaties te laten onderzoeken, of curve fitting te laten uitvoeren. Daarbij wordt een aparte plaats ingeruimd voor computersimulaties. Deze bieden de mogelijkheid om hypothesen te testen, data te genereren en kansprocessen te simuleren.
Rekenmachine
Het is de bedoeling dat de leerling binnen de gecomputeriseerde toetsomgeving de beschikking zal hebben over een wetenschappelijke rekenmachine. Waarmee de volgende operaties kunnen worden uitgevoerd: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, kwadrateren, omkeren van breuken (1/x), en het invoeren van het getal π, haakjes, exponenten en breuken (y/x).
In een notitie over toekomstgericht onderwijs kun je uiteraard niet om de 21st century skills heen. In het Framework wordt in dit verband verwezen naar een intern PISA-paper waarin ervoor wordt gepleit om steeds alleen de 21st century skills op te nemen die binnen een bepaalde vakdiscipline passen. Er wordt daarom besloten om die 21st century skills te toetsen, die een natuurlijk onderdeel vormen van wiskundeonderwijs. Dit betreft:
critical thinking
creativity
research and inquiry
self-direction, initiative, and persistence
information use
systems thinking
communication
reflection
Uiteindelijk zal de PISA-toets waarschijnlijk niet zo innovatief zijn als het Framework. Er zal zoals in het Framework zelf al wordt aangegeven, rekening moeten worden gehouden met wat er in de diverse landen inhoudelijk wordt aangeboden en wat de eerdere PISA-onderzoeken toetsten. Maar met de uitwerking van de begrippen, mathematical literacy, mathematical modelling, mathematical reasoning, computational thinking en de vakspecifieke invulling van 21st century skills levert het PISA 2021 Mathematics Framework een belangrijke bijdrage aan het denken over wiskundedoelen voor nu en de toekomst. Al is er wel het een en ander op te merken over de manier waarop het Framework rekening houdt met de digitalisering van de maatschappij.
Er zijn drie punten waarop de analyse die in het Framework wordt gemaakt, tekortschiet. Dit betreft (1) de geringe aandacht voor wiskunde op de werkvloer, (2) de veranderingen die het automatiseren van berekeningen met zich meebrengt en (3) de verschuiving in de wiskundige onderwerpen die in de maatschappij belangrijk zijn. Bij de uitwerking van deze punten volg ik Gravemeijer, Stephan, Lin, Julie, & Ohtani. (2017), waarin deze punten gedetailleerder zijn uitgewerkt.
Wiskunde op de werkvloer
Onderzoek naar hoe de wiskunde op de werkvloer verschilt van de wiskunde op school heeft een aantal relevante verschillen aan het licht gebracht. Zo blijkt dat in werksituaties meestal niet de op school onderwezen wiskundeprocedures worden gebruikt, maar informele oplossingsstrategieën die efficiënt zijn binnen die werksituatie. Bij wiskunde op de werkvloer gaat het om praktische problemen, die verbonden zijn met de manieren van doen, gereedschappen en gangbare taal van die situatie (Wake en Williams, 2001). Hoyels en Noss spreken in dit verband van techno-mathematical literacy, idiosyncratische vormen van wiskunde die gevormd zijn door de beroepspraktijk, de taken en de gereedschappen (Hoyles, Noss, Kent en Bakker, 2010). In veel gevallen zijn dit idiosyncratische vormen van wiskunde, die door anderen zijn ontwikkeld en niet zijn gedocumenteerd.
Bovendien heeft men in de beroepspraktijk vaak te maken met complexe, onoverzichtelijke problemen waarvoor verschillende oplossingen mogelijk zijn. Binnen de gegeven randvoorwaarden zal dan de beste oplossing gekozen moeten worden. Ook wiskundige taal en symbolen kunnen een andere betekenis krijgen in een beroepscontext. Zo blijkt er in een bepaalde beroepspraktijk te worden gewerkt met grafieken, waar de laagste waarde niet links maar rechts op de horizontale as staat (Wake en Williams, 2001).
De gebruikte wiskunde wordt steeds minder zichtbaar en herkenbaar, omdat deze verborgen zit in een black box. Tegelijkertijd wordt het juist belangrijker dat de gebruiker de wiskunde in de black box begrijpt. In de eerste plaats omdat producten steeds vaker moeten worden aangepast aan de wensen van de klant. In de tweede plaats moet deze persoon met klanten, collega’s en chefs kunnen spreken over wat er in de black box gebeurt (Kent, Noss, Hoyles, Guile en Bakker, 2007). Dit alles heeft consequenties voor het wiskundeonderwijs; de wiskunde die op school wordt geleerd moet geschikt zijn voor flexibel gebruik en aanpassingen.
Een ander kenmerk van de beroepspraktijk, is dat er vaak in groepen wordt samengewerkt, waar ieder zijn of haar eigen deskundigheid inbrengt. Verder liggen de eisen die aan de oplossing worden gesteld niet altijd vast, maar moeten deze al doende worden uitgewerkt. Ook zullen er vaak metingen moeten worden verricht en zullen beschikbare data moeten worden geïnterpreteerd.
Geautomatiseerde berekeningen
Wanneer de berekeningen door apparaten worden uitgevoerd, verandert het soort wiskunde dat je nodig hebt. In veel gevallen zal een vorm van begrijpen op metaniveau van die wiskunde voldoende zijn, bijvoorbeeld zoals door Kaput (1994, 1997) wordt voorgesteld in relatie tot integraal- en differentiaalrekening. Hij constateert dat slechts tien procent van de bevolking met integraal- en differentiaalrekening kan omgaan. Terwijl in onze hoogtechnologische maatschappij een veel groter deel van de bevolking vertrouwd zou moeten zijn met de basisideeën en -technieken van integraal- en differentiaalrekening. Voor die grotere groep zou de nadruk zijns inziens moeten liggen op de onderliggende kernbegrippen met betrekking tot verandering en veranderingssnelheid, accumulatie, de relaties tussen variabele veranderingssnelheden en accumulatie, en de rol van benaderingen (the key underlying ideas of rate of change and variation, accumulation, the connections between variable rates and accumulation, and approximation (Kaput, 1977, blz. 733).
Hij voegt daaraan toe dat dynamische, computer representaties kunnen worden ingezet om leerlingen te helpen greep te krijgen op deze kernideeën – zoals het door hem en zijn collega’s ontwikkelde Simcalc (Roschelle, Kaput, & Stroup, 2012).
Een ander gevolg van het door apparaten laten uitvoeren van berekeningen is dat de berekening volledig uit handen wordt gegeven. Het is daarom van groot belang dat de gebruiker de berekeningen globaal controleert. Bijvoorbeeld door gebruik te maken van globaal rekenen en globaal wiskundig redeneren. Dit vraagt een ander soort vaardigheid dan gebruikelijk wordt onderwezen. Bij het rekenen kunnen we bijvoorbeeld denken aan het gebruik van bekende getalrelaties; denk voor een eenvoudig voorbeeld aan 8 x 125 = 1000 bij het afschatten van een vermenigvuldiging als 18 x 127. Bij globaal wiskundig redeneren is het bijvoorbeeld goed als iemand zich realiseert hoe f(x) = x2 + 500x zich gedraagt bij een heel kleine of juist heel grote x.
Wiskundige onderwerpen
Bij het vaststellen van doelen voor toekomstgericht wiskundeonderwijs zullen we ook rekening moeten houden met welke wiskunde belangrijk is, of wordt, in de moderne maatschappij. In het Framework wordt terecht statistiek genoemd. Maar er zijn meer onderwerpen. Zo neemt de betekenis van ruimtemeetkunde toe onder invloed van het gebruik van 3D imaging en 3D printing. Maar ook variabelen, co-variatie, functies en integraal- en differentiaalrekening worden steeds belangrijker (Hoyles et al 2010). De in apparaten geïmplementeerde modellen immers zullen vaak het karakter hebben van systemen van samenhangende variabelen, terwijl integraal- en differentiaalrekening op tal van gebieden wordt toegepast. Ook numerieke wiskunde speelt een belangrijke rol in de informatiemaatschappij.
In het PISA 2021 Mathematics Framework wordt terecht geconstateerd dat de digitalisering van de maatschappij consequenties heeft voor welke wiskunde de leerlingen van nu moeten leren. Dit wordt door de auteurs van het Framework ook systematisch uitgewerkt. In de traditie van PISA concentreren ze zich daarbij op het gebruik van wiskunde in toepassingssituaties. Dit betekent dat mathematical literacy net als in eerdere edities het centrale thema is, samen met mathematical modelling dat als kernactiviteit wordt gezien. Nieuw is de aandacht voor mathematical reasoning. De uitwerking van deze onderdelen laat duidelijk zien dat er buiten het uitvoeren van wiskundige berekeningen een waaier aan wiskundige activiteiten bestaat. Wiskundige activiteiten waarvan het belang als gevolg van digitalisering sterk toeneemt. In het Framework worden daar – eveneens met het oog op de veranderingen die in de maatschappij plaatsvinden – computational thinking in de context van wiskundig probleem oplossen en de binnen het wiskundeonderwijs passende 21st century skills aan toegevoegd.
De analyse is echter niet volledig. Zo is er te weinig aandacht voor wat inmiddels bekend is over wiskunde op de werkvloer. Verder wordt niet onderkend dat als de computer wiskundige berekeningen overneemt, de wiskunde die de gebruiker nodig heeft verschuift van routinematig uitvoeren van procedures naar het begrijpen van onderliggende concepten en mechanismen en naar het globaal kunnen controleren van antwoorden. Dit vraagt andere wiskundige kennis en vaardigheden. Tenslotte is er een (tot statistiek) beperkte kijk op de verschuiving in de wiskundige onderwerpen die in de huidige maatschappij belangrijk zijn.
Koeno Gravemeijer is emeritus professor science- en techniekeducatie aan de Technische Universiteit Eindhoven. Lees ook Wiskunde voor Morgen, notitie van de NVORWO.
Bronnen
Gravemeijer, K., Stephan, M., Lin, F., Julie, C., & Ohtani, M. (2017). What Mathematics Education May Prepare Students for the Society of the Future? International Journal for Science and Mathematics Education, 15(1), 105-123. DOI 10.1007/s10763-017-9814-6.
Hoyles, C., Noss, R., Kent, P., & Bakker, A. (2010). Improving mathematics at work: The need for techno-mathematical literacies. Routledge.
Kaput, J. (1994). Democratizing access to calculus: New routes to old roots. In A. Schoenfeld (Ed.), Mathematical thinking and problem-solving (pp. 77–156). Hillsdale: Lawrence Erlbaum.
Kaput, J. (1997). Rethinking calculus: Learning and thinking. The American Mathematical Monthly, 104(8), 731-737.
Kent, P., Noss, R., Guile, D., Hoyles, C., & Bakker, A. (2007). Characterizing the use of mathematical knowledge in boundary-crossing situations at work. Mind, Culture, and Activity, 14(1-2), 64-82.
Roschelle, J., Kaput, J. J., & Stroup, W. (2012). SimCalc: Accelerating students’ engagement with the mathematics of change. In Innovations in science and mathematics education(pp. 60-88). Routledge.
Wake, G. D., & Williams, J. S. (2001). Using College mathematics in understanding workplace practice. Summative report of research project funded by the Leverhulme Trust. Manchester: Manchester University.
Wolfram, C. (2010). Teaching kids real math with computers.
En blijf op de hoogte van onderwijsnieuws en de nieuwste wetenschappelijke ontwikkelingen!
Inschrijven
