‘Steek je linkerhand op als deze breuk kleiner is dan ½ en je rechterhand als hij groter is.’ Het is nog vroeg, maar groep 7-8 van obs De Mei in Wormerveer is meteen wakker. Leerkracht en rekencoördinator Janneke Tambach tovert in rap tempo breuken tevoorschijn op het digibord: 2/8, 6/7, 15/30. Alle 31 leerlingen doen enthousiast mee en steken hun handen in de lucht.
Zo’n warming-up, een korte, klassikale inleiding van de les waarbij de stof herhaald wordt, is nieuw. Het is een van de ideeën die de school heeft opgestoken van het rekenverbetertraject in 2009-2011. In totaal hebben ruim vijfhonderd basisscholen tussen 2008-2011 deelgenomen aan zo’n traject. Met deze trajecten hoopte OCW het rekenonderwijs te verbeteren.
Dat is op obs De Mei in ieder geval gelukt, zegt rekencoördinator Janneke Tambach. ‘We hebben veel aan het traject gehad, het heeft tot nieuwe inzichten geleid. Alle leerkrachten zijn bijgeschoold in hoe je rekenen onderwijst. En je wisselt ook kennis uit met andere scholen uit je regio: hoe pakken jullie dit aan, welke methode gebruiken jullie? Daar leer je veel meer van dan als iedereen met zijn eigen schooltje bezig is.’
Directe aanleiding voor de verbeterslag was het Inspectierapport uit 2008 waaruit bleek dat een kwart van alle basisscholen ‘rekenzwak’ is: met rekenprestaties die gedurende minstens twee van de drie laatste schooljaren achterblijven bij de gemiddelde score. Daarna deed het KNAW-rapport Rekenonderwijs op de basisschool er in 2009 nog een schepje bovenop. Hieruit bleek dat de bezorgdheid over de rekencapaciteiten van Nederlandse leerlingen terecht is. Zo zijn leerlingen uit groep 6 steeds slechter gaan presteren vergeleken met leeftijdgenoten uit andere landen. En dat is niet, zo stelden de rapportschrijvers klip en klaar, te wijten aan realistische of juist traditionele rekenmethoden. De ene methode levert namelijk geen betere resultaten op dan de andere. De crux zit ’m niet in de methode, maar in de leerkracht. Om het rekenonderwijs te verbeteren hebben we leerkrachten nodig die zelf kunnen rekenen én weten hoe ze dat anderen moeten leren.
Waarom is leren rekenen zo lastig – zowel voor leerlingen als leerkrachten die het moeten bewerkstelligen? Koeno Gravemeijer, eerder hoogleraar bij het Freudenthal Instituut, later bij Eindhoven School of Education en sinds kort met pensioen, heeft daar regelmatig over geschreven. Het komt, zo legt hij uit, omdat getallen geen tastbare objecten zijn. Volwassenen mogen daar inmiddels aan gewend zijn, maar kinderen nog niet. Dat wordt duidelijk als je jonge kinderen vraagt hoeveel 4+4 is. Dik kans dat ze dan vragen ‘vier wat?’ Dat vier appels en nog eens vier appels 
samen acht appels zijn, is hen wel duidelijk. Maar 4+4 is voor hen abracadabra. Voor hen zijn getallen nog een bijvoeglijk naamwoord. Om de opgave ‘hoeveel is 4+4?’ te begrijpen moeten de getallen zelf objecten of eenheden zijn geworden.
Dit soort problemen doen zich in de rekenles en later in de wiskunde voortdurend voor. Zo vinden veel leerlingen het moeilijk om in een vierkant een parallellogram te zien. Voor de leraar is een parallellogram een concept voor bepaalde ruimtelijke relaties en eigenschappen, de leerling ziet een plaatje van een wiebertje voor zich. Om de wereld van de getallen en formules te betreden moeten ze hun wereldbeeld kantelen en hun plaatje inruilen voor wiskundige concepten. ‘Leraren en leerlingen spreken een andere taal, zonder dat ze zich daarvan bewust zijn’, stelt Gravemeijer. ‘Daardoor worden de conceptuele barrières niet gezien en niet geslecht.’
Paul van den Broek, hoogleraar Cognitieve en neurobiologische achtergronden van leren en doceren in Leiden, wijst op onderliggende hersenprocessen bij rekenen. ‘Net als bij taal gaat het bij rekenen om het decoderen van symbolen en het interpreteren van de betekenis daarvan. Alleen maakt rekenen gebruik van vreemde symbolen die we ons eerst eigen moeten maken. Zo kost het onze hersenen meer tijd om het +-teken te verwerken dan het geschreven woordje en. Dus ga maar na hoeveel werk ons brein al heeft aan 3+4=6. Daar komt bij dat kinderen dagelijks duizenden woorden horen en veel minder getallen. De hersenen zijn dus minder getraind op het verwerken van rekentaal.’
Rekenen is dus letterlijk meer werk voor ons brein. Overigens valt in ons brein geen rekengebiedje, laat staan een wiskundeknobbel, aan te wijzen. Diverse hersengebieden zijn actief als we aan het rekenen zijn. ‘Dat zijn deels dezelfde gebieden als bij het verwerken van taal, namelijk gebieden die zich bezighouden met analyse en interpretatie.’
Rekenen vergt de nodige denkkracht, stelt ook de Utrechtse hoogleraar rekendidactiek Hans van Luit. ‘Zelfs een simpele som als 22-13 vergt verschillende denkstappen.’ Later moeten leerlingen doorzien dat delen en vermenigvuldigen twee zijden van dezelfde medaille zijn, evenals aftrekken en optellen en daar soepel mee weten te goochelen. En dat allemaal in een abstract systeem zonder harde haakjes naar de echte wereld. ‘De meeste leerlingen leren wel de basisvaardigheden, maar bij breuken missen nogal wat leerlingen het inzicht’, stelt Van Luit. ‘Voor hen is volstrekt onbegrijpelijk wat ze aan het doen zijn. En geef nou toe, 1/3 maal 1/18, dat gaat natuurlijk ook nergens over.’
Na de warming-up deelt Tambach de klas in groepen op. Een paar zwakkere rekenaars uit groep 8 krijgen in de hal extra uitleg van de onderwijsassistent; groep 7 gaat zelfstandig werken aan sommen uit het boek. Groep 8, net terug van schoolkamp en nog wat onwennig, gaat met de juf aan de slag. Het thema van vandaag: geld.
‘Wie van jullie krijgt er geen zakgeld? Wie krijgt er kleedgeld? Kan iemand uitleggen wat kleedgeld is?’ Na een korte inleiding krijgen de leerlingen vijf minuten de tijd om in tweetallen een paar sommen uit te werken die met zakgeld te maken hebben. De juf loopt rond en kijkt hoe het gaat: fijn dat je zo netjes werkt. En: probeer wat tempo te maken. Een jongen fluistert: juf, mag ik intussen aan wiskunde gaan werken? Ja hoor, dat mag. Hij zit in de plusklas en volgt een extra programma.
Differentiatie in de rekenles is belangrijk. Die les kwam al naar voren in de rapporten van de Inspectie en de KNAW. Andere lessen daaruit waren dat de leerkracht de spil is. Hij moet veel uitleggen, veel voordoen en veel oefeningen met feedback geven.
J
anneke Tambach herkent dit: ‘Het ingewikkelde van rekenen is dat je vaak zo veel stappen moet zetten om tot een antwoord te komen. Simpele bewerkingen als optellen en aftrekken, daar komen de meeste kinderen wel uit. Maar als ze dan ineens een ingewikkelde tabel voor hun neus krijgen, lopen ze vast: wat moeten we hiermee? Dan moet je ze echt aan het handje nemen en het stap voor stap voordoen.’ Daarbij moet de leerkracht rekenprestaties van leerlingen systematisch evalueren en zijn instructie daarop aanpassen. In de rekenverbetertrajecten is daaraan gewerkt. Daarnaast heeft de overheid ook geld gestoken in onderzoek.
In 2011 startte NWO-PROO onderzoeken naar rekendidactische knelpunten en naar effectievere instructie in en organisatie van de rekenles. Hans van Luit leidt het onderzoeksproject Rekendifferentiatie. Met als centrale vraag: hoe leer je leerlingen een efficiënte rekenstrategie aan?
Les één van Van Luit is dat er geen ultieme rekenmethode bestaat. Er leiden vele wegen naar Rome, aan de leerkracht de taak het wegennet op zijn duimpje te kennen en elke leerling te leiden naar een route zonder hindernissen. Daarom vindt Van Luit de grondidee van het realistisch rekenen goed. ‘Alleen kunnen niet alle leerlingen het aan. Dus moet je doseren als leerkracht en je leerlingen niet belasten met al die verschillende strategieën om een rekenopgave op te lossen. Maar zelf moet je al die strategieën wel kennen en beheersen.’ Dat is in zijn ogen weer het nadeel van traditioneel rekenen: die biedt maar één manier aan. ‘Het goede eraan is het stampen en vele oefenen. Dat moet je behouden, maar het is ook belangrijk om, als je merkt dat de leerling jouw manier niet snapt, een andere manier aan te reiken.’
In de praktijk zal driekwart van de leerlingen zonder problemen de strategie die de leerkracht onderwijst, oppikken en toepassen. ‘Maar een op de vier heeft echt meer aandacht nodig dan dat je langsloopt en een aai over de bol geeft.’ Leerlingen die de standaardstrategie maar niet onder de knie krijgen, moet je iets anders bieden. Tambach: ‘De meeste kinderen pikken alles wel op, maar voor een enkeling is bijvoorbeeld versneld optellen en aftrekken gewoon echt heel lastig. Als het met tussenstappen wél lukt, denk ik: blijf het dan maar zo doen, als je er op die manier uitkomt. Voor een leerkracht is zoiets niet altijd makkelijk te accepteren, je blijft het lang proberen. Maar uiteindelijk gaat het erom dat die leerling zo’n som kan oplossen, op welke manier dan ook.’ En dan zijn er nog de zwakke rekenaars die blijven vasthouden aan het op de vingers tellen. Op zich geen foute strategie, maar bij sommen met grote getallen wel een erg tijdrovende. Van Luit: ‘Je weet als leerkracht: nu gaat dat nog goed, maar later zal het problemen opleveren. Je mag dan nooit zeggen “jouw manier is niet goed”. Wel kun je hem ervan overtuigen dat jouw manier beter is. Laat hem 25 sommen maken op zijn eigen manier en neem met een stopwatch de tijd op. Je telt de goede antwoorden en de gebruikte tijd. En dan zeg je: nu doen we hetzelfde op mijn manier en dan gaan we vergelijken wat sneller en beter gaat.’
Intussen is groep 7 klaar met het nakijken van hun eigen sommen. Tambach roept ze bij zich aan de instructietafel, om samen een som te bespreken waar iedereen moeite mee had. Met extra uitleg helpt ze de kinderen op weg:‘Wat vrágen ze hier nou eigenlijk? Er staat wel heel veel informatie in deze tabel, hè? Jullie zitten te goochelen met getallen.’ Dan krijgt groep 8 een moeilijke som voor de kiezen: 1296 gedeeld door 16. Een jongen komt naar het bord en lost hem in no time op met een staartdeling. Voor de meeste kinderen gaat dat te snel. De juf merkt het. ‘Wie van 
jullie vindt staartdelen moeilijk?’, vraagt ze. ‘Jullie mogen ook gewoon delen met een happensom hoor, kies maar wat je zelf het lekkerst en het snelst vindt.’
Van Luit heeft met 25 scholen een contract afgesloten om mee te draaien in het onderzoek. Het hele team doet mee en krijgt een training. Van Luit werkt daartoe samen met onder meer Giralis, CED-Groep, CPS en SLO. Doel is om, zoals dat in zijn Protocol Ernstige Reken- en Wiskundeproblemen heet, spoor 2- en spoor 3-leerkrachten te kweken. Vers van de pabo zit een leerkracht nog op spoor 1: hij kan wel rekenen, maar moet de rekendidactiek nog in de vingers krijgen. Spoor 2 is de ervaren leerkracht die de doorgaande leerlijn in zijn hoofd heeft zitten en spoor 3 is de rekenspecialist. Het team leert hoe ze op een goede en efficiënte manier ook in grote klassen kunnen differentiëren en welke rol ieder teamlid daarin speelt. Ze leren bovendien signalen herkennen van mogelijke rekenproblemen.
Van Luit put daarvoor uit zijn jarenlange onderzoek naar rekenstoornissen en dyscalculie. Al in de kleuterklas kun je aanwijzingen vinden voor latere rekenproblemen. Van Luit geeft een voorbeeld: ‘Je kunt met kleuters een toren bouwen van 7 blokjes en die samen tellen. Of je nu van boven naar beneden of omgekeerd telt, dat blijven er 7. Snappen dat 5 en 2 blokjes ook 7 is, is de volgende stap. Om dat uit te rekenen beginnen leerlingen aanvankelijk bij 1 te tellen. Op een gegeven moment leren ze dat je ook meteen vanaf 5 kunt beginnen te tellen. Maar sommige leerlingen blijven vanaf 1 tellen, dat kan een aanwijzing zijn. Als je daar geen aandacht aan besteedt, beginnen deze kinderen al met een achterstand in groep 3. Want methodemakers en leerkrachten gaan ervan uit dat alle leerlingen 3+4 snel bij elkaar kunnen optellen.’
Goed differentiëren betekent volgens Van Luit een drieslag: niet alleen uitdagend materiaal voor goede rekenaars en gerichte extra instructie voor zwakke rekenaars, maar ook goed rekenonderwijs voor de middenmoot. ‘Die middenmoot aan het werk houden betekent niet slaafs de methode volgen. Je moet weten wat leerlingen al goed kunnen en wat matig gaat, daar kies je de taken uit het boek op uit. Methodes geven vaak per leeronderdeel heel veel opgaven op verschillende manieren. Bij alles moet je nagaan: is het nodig dat ze dit ook kunnen? En wat kunnen we overslaan.’
Toch is differentiëren maar een deel van het verhaal, weet Tambach. Goed rekenonderwijs betekent ook: je leerlingen motiveren door rekenen leuk te maken. ‘Tegenwoordig doen we daar van alles aan. Een warming up, rekenspelletjes, samen oefenen op het digibord. Tijdens de Nationale Rekendag hebben we een levende grafiek gemaakt van rijen leerlingen op het schoolplein. Dat soort dingen vinden ze echt leuk, het maakt rekenen tastbaar. Ik hoor mijn klas vaak zeggen: bah, begrijpend lezen. Maar nooit: bah, rekenen. Nooit.’ Van Luits eerste teamtrainingen zijn dit schooljaar gestart. Volgend schooljaar worden de opgedane ervaringen van de eerste 25 scholen overgedragen aan een volgende lichting. Op de resultaten van zijn effectonderzoek kunnen we eind 2014 rekenen.
* met een systeem van 10 getallen kun je een oneindig aantal berekeningen uitvoeren
* er is maar 1 manier om het woord ‘rekenen’ goed te spellen, er zijn zeker 3 manieren om de som 28+13 op te lossen
* 25-30% van de leerlingen haakt af in de rekenles * 2-3% van de leerlingen heeft dyscalculie, het rekenbroertje van dyslexie
* In 2007 zakte 25% van de pabo-studenten voor de rekentoets
Waar komt rekenangst vandaan? Rekent de gemiddelde Nederlander met pen en papier, of liever uit het hoofd? En hoe goed kunnen we hoeveelheden inschatten? Op deze en andere vragen proberen onderzoekers van verschillende universiteiten een antwoord te vinden in het Groot Nationaal Rekenonderzoek, een initiatief van NWO, NTR en VPRO. Iedereen kan aan dit online onderzoek meedoen: jong en oud, rekenhaters en wiskundeknobbels.
Hoe staat het met de eigen rekenvaardigheden? Test ze hier met vier vragen uit het onderzoek:
De vloer van de gymzaal wordt bedekt met zeil van 4 meter breed. De vloer is 12 bij 20 meter. Hoeveel meter zeil moet er gekocht worden?
1 cm2 = … mm2
Een pretpark verwachtte op een zaterdag 15.000 bezoekers. Er kwamen er die dag 13.200. Hoeveel procent bleef het aantal bezoekers beneden de verwachting?
In de kop van een krantenartikel staat dat de staatsschuld in Nederland stijgt met 1105 euro per seconde. Hoeveel miljard stijgt de staatsschuld in een jaar?
Antwoorden: 1) 100mm2 2) 12% 3) 34,8 miljard
Nieuw rekenonderzoekBraintraining
Redactiesommen zijn voor veel leerlingen een struikelblok. Eerst moeten ze tussen alle taal de rekenopgave vinden waar het om draait, vervolgens een passend rekenplan kiezen, dit uitvoeren en hun antwoord controleren. Daar komt behalve rekenkracht de nodige denkkracht oftewel metacognitie bij kijken. Annemieke Jacobse van het Groningse onderzoeksinstituut GION experimenteerde met een computerondersteund trainingsprogramma vol redactieopgaven en metacognitieve hints. Uit haar promotieonderzoek blijkt dat metacognitie te trainen is en dat leerlingen vervolgens beter worden in het oplossen van redactiesommen.
Annemieke Jacobse, Can we improve children’s thinking? A metacognitive approach to word problem solving. Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen, 2012
Een som kun je uit je hoofd uitrekenen of met pen en papier. Leerlingen mogen doorgaans zelf weten welke manier ze kiezen. Maar ze kiezen niet altijd de voor hen beste manier, ontdekte psychologe Marian Hickendorff. Samen met het Cito deed ze onderzoek naar hoe basisschoolleerlingen rekenen. Vooral jongens en zwakke rekenaars overschatten zichzelf nogal eens en kiezen ten onrechte voor hoofdrekenen. Het komt hun resultaten niet ten goede en zo vergroten ze hun achterstand alleen maar. Haar aanbeveling is om meer aandacht te besteden aan rekenen op papier: laat leerlingen zien hoe je dat doet en wanneer het verstandig is om te doen.
Marian Hickendorff, Explanatory latent variable modeling of mathematical ability in primary school. Crossing the border between psychometrics and psychology. Proefschrift Leiden, 2011
Veel scholen blijken het lastig te vinden de resultaten van toetsen en evaluaties om te zetten in concrete actie. CPS heeft, in opdracht van het ministerie van OCW, onderzoek gedaan naar de meest effectieve interventies als het gaat om rekenen in het basisonderwijs. De bevindingen zijn verwerkt in een rapport en een iPhone app voor leerkrachten: iReken. De app biedt van 1 augustus 2012 tot 1 augustus 2013 dagelijks een tip, doordenkertje of rekenactiviteit voor de rekenles. Daarnaast biedt de app extra achtergrondinformatie en een rekenonderwijscommunity op Facebook waar gebruikers rekenvragen kunnen stellen. iReken is gratis als iPhone app te downloaden via de iTunes store.
Dit artikel verscheen in Didactief, november 2012.
En blijf op de hoogte van onderwijsnieuws en de nieuwste wetenschappelijke ontwikkelingen!
Inschrijven
