Onderzoek

Gun ze een eurekamomentje

In de nieuwe conceptkerndoelen rekenen krijgt wiskundig leren denken veel nadruk. Nou hoort bij elk vak een eigen manier van denken en redeneren, maar wiskunde spant hierin wel de kroon. Dat heeft te maken met het hoge abstractiegehalte.

Pendelen tussen
concreet en abstract,
denken en doen…

Ruim dertig jaar geleden al legde Anna Sfard haarfijn uit waarom wiskunde leren ingewikkeld is. Haar verhaal heeft nog niets aan belang ingeboet. Integendeel, door het wiskundig leerproces te ontrafelen, laat ze zien hoe leerlingen het toch onder de knie kunnen krijgen.

Abstracte grootheden

Waarom is het leren van rekenen en wiskunde zo moeilijk? En waarom snappen wiskundigen niet dat veel andere mensen dat vinden? Sfard, zelf een vermaard wiskundige, wil dat tot op de bodem uitzoeken. Want ze zag te vaak dat leerlingen afhaakten. Als we beter begrijpen wat wiskunde in wezen is, zo is haar idee, kun je het anderen ook beter leren.
Het begint ermee dat wiskundige concepten als getallen en functies abstracte grootheden zijn, bedacht door mensen. Het is niet zo dat onze voorouders op een dag hebben gezegd ‘en nu zijn er getallen’ en toen wiskunde gingen bedrijven. De concepten zijn al doende ontstaan. Eerst kenden mensen alleen nog maar wat we nu natuurlijke getallen noemen. Dat zijn de getallen waarmee je telt en rekent in het dagelijks leven.
Logisch doorredenerend bedachten wiskundigen dat de wereld van getallen groter moest zijn. Er konden bijvoorbeeld ook negatieve getallen zijn (denk maar aan de uitkomst van 4 min 6) en complexe getallen. Absurd, oordeelden tijdgenoten, vakgenoten incluis. Zoiets bestaat toch helemaal niet! Zelfs een geleerde als René Descartes wilde er niet aan. Hij sprak laatdunkend van ‘imaginaire getallen’, dingen die alleen in de verbeelding bestaan. Maar wiskundigen hielden vol en wisten bewijzen te leveren dat zulke getallen wel degelijk bestaan. Ze lagen misschien niet voor het oprapen in het dagelijks leven, maar bleken wel degelijk nuttig. Bijvoorbeeld om golven en trillingen te beschrijven.

…helpt je leerlingen
om zich het wiskundig
denken eigen te maken

Wiskundige concepten zijn dus niet tastbaar, maar wel degelijk bruikbaar om de wereld om ons heen te begrijpen. Als je tenminste in staat bent te denken en te goochelen met die concepten.
Om het nog wat ingewikkelder te maken: een wiskundig concept kan duiden op zowel een statische eigenschap als een dynamisch proces. Sfard noemt dit de structurele en operationele kanten van wiskundige concepten.
Statisch en dynamisch tegelijk, dat lijkt tegenstrijdig. Maar ze vullen elkaar juist aan, als twee zijden van dezelfde medaille. Zo is een natuurlijk getal, bijvoorbeeld 4 of 7, tegelijkertijd de eigenschap van iets (een fruitmand met vier appels of een plant met zeven bloemblaadjes) én iets wat ontstaat door te tellen (in het proces dus). Voor wiskunde moet je beide – het geheel en de delen – ‘zien’ en begrijpen, net zoals je twee voeten nodig hebt om te kunnen lopen. Voor wiskundigen is het gesneden koek. Maar voor beginners is het vaak verwarrend. Het kost tijd en moeite om je die denktrant eigen te maken.

Leerproces

Hoe kun je je dat wiskundige denken toch eigen maken? Sfard onderscheidt in het leerproces drie stappen:

1. Leren door te doen (interiorization)
De wiskundige concepten zijn al doende ontstaan, in het proces dus. Ook in het leerproces begin je met de operationele kant. Je kunt leerlingen best een definitie van een breuk geven, maar zonder ermee aan de slag te gaan, zullen ze dat concept nooit ten volle vatten.

2. Patronen ontdekken (condensation)
Hoe meer je bezig bent met processen, hoe sneller je daarin grotere gehelen en patronen gaat zien. Eerst kun je alleen nog tellen met getallen, later kun je er ook andere rekenbewerkingen mee maken en ga je begrijpen dat bijvoorbeeld delen en vermenigvuldigen elkaars omgekeerde zijn. Al doende krijg je steeds meer zicht op de onderliggende structuur.

3. Het licht zien (reification)
Waar de eerste twee fasen vaak een tijdje duren, is deze derde fase als een eurekamoment. Opeens valt het kwartje. Je begrijpt het concept ten volle en kunt ermee rekenen en schrijven. Proces en concept vallen samen. En dan ben je klaar voor de volgende ronde. Want deze drie fasen vormen een continue leercyclus, zodat je steeds dieper en verder komt in het wiskundig denken.

Denken in structuren en bewerkingen horen bij elkaar. Ze versterken elkaar en je moet het allebei kunnen. Sfard legt uit waarom: inzicht in de structuur ontlast je werkgeheugen. Je hoeft niet meer alle mogelijke bewerkingen met getallen actief te houden, het concept roept de juiste bewerking vanzelf al op. Dat concept zal zich al doende verdiepen en verbreden, waarbij elk eurekamomentje zorgt voor een nog betere structuur. Zo kun je uiteindelijk goed gewapend een nieuw probleem oplossen.
Sfard vergelijkt het met je weg vinden in een onbekende stad: dat gaat veel gemakkelijker als je eerst een blik op de plattegrond kunt werpen dan wanneer je zomaar wat ronddoolt. Maar door alleen maar op die kaart te turen, bereik je je bestemming natuurlijk niet: je moet ook in actie komen.

Inwijding

Sfards artikel maakt duidelijk waarom wiskunde een vak is waarop nogal wat leerlingen lastig grip krijgen. Wiskundig denken is de hoogste vorm van abstractie. Niet alleen moet je werken met concepten die niet tastbaar en zichtbaar zijn, die concepten zijn ook nog eens verdraaid complex, want statisch en dynamisch tegelijk.
Haar beschrijving van het cyclische leerproces biedt houvast voor hoe je leerlingen geleidelijk kunt inwijden. Door voortdurend te pendelen tussen concreet en abstract, en tussen denken en doen help je leerlingen om zich het wiskundig denken eigen te maken.
Leerlingen hebben haakjes nodig in de werkelijkheid. Sfard maakt duidelijk waarom het niet zo goed werkt om bij nieuwe rekenstof te starten met een definitie. Een breuk is een gebroken getal? Leerlingen zouden je verwilderd aankijken. Hoe kan een getal nou kapot zijn? Maar snijd een pizza of taart in stukken, en ze snappen het beter. En van daaruit kun je hen steeds dieper die wiskundige denkwereld in leiden.
 

Anna Sfard, On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 1991.

Dit artikel verscheen in Didactief, maart 2024.

Verder lezen

1 Eindelijk nieuwe kerndoelen
2 Kerndoelen: hoe kunnen ze beter?
3 Pizza of geen pizza?
4 Beter in breuken